从力做的功到向量的数量积

§5从力做的功到向量的数量积FsW=|F||s|cos如果物体在力F下产生位移S则可得力F所做的功已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,∠AOB=θ(0≤θ≤180)叫作向量a与b的夹角.abOABθ两个非零向量的夹角的定义：OABOABAOB┓a⊥b当θ=0时,a与b同向当θ=180时,a与b反向当θ=90时,a与b垂直，记作a⊥b我们规定零向量可与任一向量垂直.0·a=0OABθ如图，OA=a,OB=b,过点B作BB1⊥OA于B1B1则OB1=|b|cosθ|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影射影的定义当θ为锐角时,|b|cosθ0当θ为钝角时,|b|cosθ0当θ为直角时,|b|cosθ=0当θ=180时,|b|cosθ=-|b|当θ=0时,|b|cosθ=|b|Oθba已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cosθ叫作向量a和b的数量积(或内积).记作a·ba·b=|a||b|cosθ向量的数量积的几何意义：向量a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积.当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方:a·a=|a|2当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值:e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ向量的数量积的物理意义：如果力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.运算律：abba1．bababa2．cbcacba3．=12(-)233=-6解a·b=|a||b|cosθ=3×4×cos150例1已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150,求a·b例2在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosCABCabc同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理.证明如图,设,则,,ABcBCaACb222||||||||aaBCBCBC()()ACABACAB()()bcbc2bbccbc22||||2||||cosbcbcA222cosbcbcA例3证明菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO证明菱形ABCD中,AB=AD即菱形的两条对角线互相垂直.,ACADABBDADAB由于()()ACBDADABADAB可得22()()ADAB22||||ADAB0ACBDa·b=(e1+e2)·(e2-2e1)=-2e1·e1-e1·e2+e2·e2=-所以23①例4已知单位向量e1,e2的夹角为60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1夹角.解由单位向量e1,e2的夹角为60,得e1·e2=1cos602由①②可得cosθ===a·b|a|·|b|33×2321又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1·e2+|e2|2=3|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1·e2+|e2|2=3②所以|a|=|b|=3又0θπ,所以θ=120（1）00a（5）若，则对于任一非零有0ab0ba00a（2）（3）||||||baba（7）对于任意向量都有cba、、）（）（cbacba（6）若，则至少有一个为0baba、0判断下列命题是否正确：公式变形对功W=|F||s|cos结构分析抽象平面向量数量积的定义a·b=|a||b|cos特殊化五条重要性质数形结合几何意义（1）向量的数量积的定义（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义（3）向量的数量积的性质（4）向量的数量积的运算律