3.1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一)最新版

3.1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一)人教A版选修2-3第三章问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关函数关系是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.正相关负相关问题2：研究线性相关的两个变量的基本步骤是什么？问题3：求线性回归直线的基本方法是什么？画散点图求回归直线方程用回归直线方程进行预报---------------最小二乘法利用最小二乘法求回归直线的方程对于一组具有线性相关关系的数据1122,,,,,,nnxyxyxy，设回归直线为ybxa$$$，则1122211()()ˆ()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxˆˆaybx其中1111,nniiiixxyynn，回归直线必经过样本中心,xyC【例1】某产品的广告支出x（单位：万元)与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：一、求线性回归方程请问：广告费为9万元时，销售收入一定是129.4成元吗？二、残差分析------刻画拟合效果的几种方式真实值y与预测值y$存在一定的误差，即yye$，其中ybxa$$$.通常e是随机变量，称为随机误差.对于样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）,它们的随机误差µµµ,1,2,,iiiiiieyyybxain$µie称为相应于点,iixy的残差.我们把µµµ222111()(())nnniiiiiiiiieyyybxa$叫做残差平方和.1.残差2.残差图可以通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合程度.(研究残差的意义)可利用图形来分析残差特性.作图时以纵坐标为残差,横坐标为样本的编号.以编号为横坐标的残差图-8-6-4-202468012345678910编号残差如残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.带状区域宽度越窄,模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.3.相关指数利用相关指数R2来刻画回归的效果niiniiiyyyyR11221R2越接近于1,表示回归的效果越好.R2是常用的选择模型指标之一，在实际应用中应该尽量选择R2的回归模型。R2取值越大,表示残差平方和越小,模型的拟合效果越好.残差平方和相关指数R2是相关系数r的平方链接总体偏差平方和练一练niiniiniiiyyxxyyxxr12121r0时,表明两个变量正相关;r0时,表明两个变量负相关.相关系数r衡量两个变量间线性相关关系的方法r的绝对值越接近1,表面两个变量的线性相关性越强;r的绝对值越接近0,表面两个变量之间几乎不存在线性相关关系.当r0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系补充《必修3》第92页阅读材料如何刻画线性关系的强弱？例.(2012年全国卷.文3)在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线112yx上，则这组样本数据的样本相关系数为（A）－1（B）0（C）12（D）1【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.返回1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)残差平方和越小,线性回归方程的拟合效果越好.()(2)在画两个变量的散点图时,预报变量在x轴上,解释变量在y轴上.()(3)R2越接近于1,线性回归方程的拟合效果越好.()√×√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为.(2)在残差分析中,残差图的纵坐标为.(3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上,则残差平方和等于,解释变量和预报变量之间的相关系数等于.答案:正相关答案:残差3.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的R2如表，则其中拟合效果最好的模型是()A.模型1B.模型2C.模型3D.模型4模型1234R20.670.850.490.23B例2.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753(1)求y对x的回归直线方程;(2)计算R2,并说明回归模型拟合效果的好坏．解x－＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y－＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，i＝15x2i＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，i＝15xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝620－5×18×7.41660－5×182＝－1.15.a^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回归直线方程是：y^＝－1.15x＋28.1.列出残差表：所以，i＝15(yi－y^i)2＝0.3，i＝15(yi－y－)2＝53.2，R2＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y－2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．(2)请试着作出对应的残差图（4）求R2并说明模型的拟合效果练一练备用：某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:①作出散点图.②求出回归方程.③作出残差图,并说明选用的模型的拟合效果.④计算R2,并说明选用的模型的拟合效果.次数x3033353739444650成绩y3034373942464851练习册第47页例2解析：①作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示,由散点图可知,它们之间具有线性相关关系.②所以所以回归方程为=1.0415x-0.00388.882iiii1i1x39.25,y40.875,x12656,xy13180,8iii1822ii1xy8xyb1.0415,aybx0.00388.x8x$$$y$③作残差图如图所示,由图可知,残差点比较均匀地分布在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适.④计算得R2≈0.9855,说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的.【延伸探究】在题(2)题设条件不变的情况下,试预测该运动员训练47次及55次的成绩.【解析】由上述分析可知,我们可用回归方程=1.0415x-0.00388作为该运动员成绩的预报值.将x=47和x=55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.y$【方法技巧】刻画回归效果的两种方式(1)残差图法:残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适.(2)R2法:R2=1-越接近1,表明回归的效果越好.n2iii1n2ii1yyyy$总结：建立回归模型的基本步骤选变量画散点图选模型求参数分析与预测比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题选修2-3——统计案例5.引入线性回归模型y＝bx＋a＋e6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解残差图的作用8.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许，我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老