从力做的功到向量的数量积1

从力做功到向量的数量积如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:位移SOAθFFθS力做功的计算cosSFW功为两个向量之间的某种运算，称为数量积表示力F的方向与位移S的方向的夹角。1、夹角θOabAB已知两个非零向量和,作，OAaOBb则∠AOB=θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与的夹角.(起点相同)ababababab当θ=90º时，与垂直记作：abab当θ=180º时，与反向ba规定：a0当θ=0º时，与同向ab如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'C练习OABθB12、射影的定义如图,过点B作BB1⊥OA于B1aOAbOBcos1bOB则||cosθ叫作向量在方向上的射影bab当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？θOOθab||cosbab在上的投影：||cos0bOab||cos0bab||cos0b||cosaba在上的投影：3、数量积已知非零向量与，它们的夹角为我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，则||||cosabab数量积运算下来是数量，与长度、夹角有关。且中间的小圆点不能省。abcosbaabba（2.10）几何意义的乘积。摄影方向上在与的长度的乘积，或射影方向上在与的长度数量积等于与cosababbcosbabaaba当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值22aaaacoscos2121eeee两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？（2.11）（2.12）向量的数量积的物理意义：如果力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.4、向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e为单位向量.则aebaba,acosbaba向量数量积的性质2.abab=03.aa=|a|2或aaa||4.cos=；||||baba5.|ab|≤|a||b|判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状等号成立ba//,为单位向量e1.cosaeaaeabba1．bababa2．cbcacba3．5、数量积的运算律例1已知3a4b且与的夹角ab150o求ab分析：可利用定义讨论解||||cosababo150cos43231236例2在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosCABCabc同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理.证明如图,设,则,,ABcBCaACb222||||||||aaBCBCBC()()ACABACAB()()bcbc2bbccbc22||||2||||cosbcbcA222cosbcbcA例3证明菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO证明菱形ABCD中,AB=AD即菱形的两条对角线互相垂直.,ACADABBDADAB由于()()ACBDADABADAB可得22()()ADAB22||||ADAB0ACBDa·b=(e1+e2)·(e2-2e1)=-2e1·e1-e1·e2+e2·e2=-所以23①例4已知单位向量e1,e2的夹角为60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1夹角.解由单位向量e1,e2的夹角为60,得e1·e2=1cos602由①②可得cosθ===a·b|a|·|b|33×2321又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1·e2+|e2|2=3|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1·e2+|e2|2=3②所以|a|=|b|=3又0θπ,所以θ=120（1）00a（5）若，则对于任一非零有0ab0ba00a（2）（3）||||||baba（7）对于任意向量都有cba、、）（）（cbacba（6）若，则至少有一个为0baba、0判断下列命题是否正确：公式变形对功W=|F||s|cos结构分析抽象平面向量数量积的定义a·b=|a||b|cos特殊化五条重要性质数形结合几何意义（1）向量的数量积的定义（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义（3）向量的数量积的性质（4）向量的数量积的运算律课堂小结2.向量的射影cosaba上的射影在cosbab上的射影在4.两个向量的数量积的性质：(1).abab=0(3).cos=||||baba(2).aa=|a|2或aaa||3.向量的数量积（内积）1.两个向量的夹角0θOabAB||||cosabab