2009年全国卷高考文科数学试题

海量资源尽在星星文库：本资料来源于《七彩教育网》年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，一．选择题（1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则Cu(MN)=(A){5，7}（B）{2，4}（C）{2.4.8}（D）{1，3，5，6，7}（2）函数y=x(x0)的反函数是（A）2yx（x0）（B）2yx（x0）（B）2yx（x0）（D）2yx（x0）（3）函数y=22log2xyx的图像（A）关于原点对称（B）关于主线yx对称（C）关于y轴对称（D）关于直线yx对称（4）已知△ABC中，12cot5A，则cosA(A)1213(B)513(C)513(D)1213（5）已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为海量资源尽在星星文库：（A）1010(B)15(C)31010(D)35（6）已知向量a=(2,1)，a·b=10，︱a+b︱=52，则︱b︱=（A）5（B）10（C）5（D）25（7）设2lg,(lg),lg,aebece则（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba（8）双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rryx相切，则r=（A）3（B）2（C）3（D）6（9）若将函数)0)(4tan(xy的图像向右平移6个单位长度后，与函数)6tan(xy的图像重合，则的最小值为(A)61(B)41(C)31(D)21（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A）6种（B）12种（C）24种（D）30种（11）已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交A、B两点，F为C的焦点。若FBFA2,则k=(A)31(B)32(C)32(D)322（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是（A）南（B）北（C）西（D）下第Ⅱ卷（非选择题）△上东海量资源尽在星星文库：小题，共90分。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.（13）设等比数列{na}的前n项和为ns。若3614,1ssa，则4a=×（14）4)(xyyx的展开式中33yx的系数为×（15）已知圆O：522yx和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于×（16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于47，则球O的表面积等于×三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。（17）（本小题满分10分）已知等差数列{na}中，,0,166473aaaa求{na}前n项和ns.（18）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，23cos)cos(BCA,acb2，求B.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小（20）（本小题满分12分）ACBA1B1C1DE海量资源尽在星星文库：名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。（21）（本小题满分12分）aaxxaxxf244)1(31)(23(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。（22）（本小题满分12分）)0(12222babyax3322（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。设函数，其中常数a1已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B22两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为海量资源尽在星星文库：年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案和评分参考一．选择题（1）C（2）B（3）A（4）D（5）C（6）C（7）B（8）A（9）D（10）C（11）D（12）B二．填空题（13）3（14）6（15）254（16）8π三．解答题17．解：设na的公差为d，则11112616350adadadad即22111812164adadad解得118,82,2aadd或因此819819nnSnnnnnSnnnnn，或（18）解：由cos（AC）+cosB=32及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=32，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=32,sinAsinC=34.又由2b=ac及正弦定理得2sinsinsin,BAC海量资源尽在星星文库：，3sin2B或3sin2B（舍去），于是B=3π或B=23π.又由2bac知ab或cb所以B=3π。（19）解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF121BB，从而EFDA。连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面1BCC，故AF⊥平面1BCC，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..设AC=2，则AG=23。又AB=2，BC=22，故AF=2。由ABADAGBD得2AD=222.23AD，解得AD=2。故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。连接CH，则∠ECH为1BC与平面BCD所成的角。因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=112BC=2，所以∠ECH=300，即1BC与平面BCD所成的角为300.解法二：海量资源尽在星星文库：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则1B（1，0，2c）,E（12，2b，c）.于是DE=（12，2b，0），BC=（-1，b,0）.由DE⊥平面1BCC知DE⊥BC，DEBC=0，求得b=1，所以AB=AC。（Ⅱ）设平面BCD的法向量(,,),ANxyz则0,0.ANBCANBD又BC=（-1，1，0yx0），BD=（-1，0，c）,故0czx令x=1,则y=1,z=1c,AN=(1,1,1c).又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）由二面角CBDA为60°知，ACAN，=60°，故60cosACANACAN°，求得21c于是），，（211AN，），，211(1CB21cos111CBANCBANCBAN，，601CBAN，°所以CB1与平面BCD所成的角为30°（20）解：（I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。（II）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则158)(2101614CCCAP（III）iA表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，210，，ijB表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，210j，，B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。海量资源尽在星星文库：独立，210，，，ji，且021120BABABAB故)()(021120BABABAPBP)()()()()()(021120BPAPBPAPBPAP210262102628141621016142102421024CCCCCCCCCCCCCC7531（21）解：（I）)2)(2(4)1(2)(2axxaxaxxf由1a知，当2x时，0)(xf，故)(xf在区间)2,(是增函数；当ax22时，0)(xf，故)(xf在区间)2,2(a是减函数；当ax2时，0)(xf，故)(xf在区间),2(a是增函数。综上，当1a时，)(xf在区间)2,(和),2(a是增函数，在区间)2,2(a是减函数。（II）由（I）知，当0x时，)(xf在ax2或0x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1()2(31)2(23aaa2443423af24)0(由假设知,0)0(,0)2(1fafa即.024,0)6)(3(34,1aaaaa解得1a6故a的取值范围是（1，6）（22）解：（Ⅰ）设,0,cF当l的斜率为1时，其方程为Ocyx,0到l的距离为海量资源尽在星星文库：故222c，1c由33ace得3a，22cab=2（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立。由（Ⅰ）知C的方程为22x+23y=6.设).,(),,(2211yxByxA(ⅰ))1(xkylxl的方程为轴时，设不垂直当COBOAOPP使上的点成立的充要条件是）点的坐标为（2121,yyxxP，且6)(3)(2221221yyxx整理得6643232212122222121yyxxyxyx632,63222222121yxyxCBA上，即在、又故03322121yyxx①将并化简得代入,632)1(22yxxky0636)32(2222kxkxk于是2221326kkxx,21xx=223263kk,2221221324)2)(1(kkxxkyy代入①解得，22k，此时2321xx于是)2(2121xxkyy=2k，即)2,23(kP因此，当2k时，)22,23(P，022yxl的方程为；海量资源尽在星星文库：k时，)22,