人教版高中数学必修二检测第二章点直线平面之间的位置关系课后提升作业十五233Wo

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业十五直线与平面垂直的性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知直线a，b和平面M，N，且a⊥M，则下列说法正确的是()A.b∥M⇒b⊥aB.b⊥a⇒b∥MC.N⊥M⇒a∥ND.a⊄N⇒M∩N≠∅【解析】选A.对于A，如图1所示：过直线b作平面N与平面M相交于直线l，由直线与平面平行的性质定理可知：b∥l，又因为a⊥M，l⊂M，所以a⊥l，所以b⊥a，A正确.选项B，C均少考虑了直线在面内的情况，分别如图2，3所示，均错误；对于D，用排除法，如图4所示，M∥N，D错误.2.(2016·太原高二检测)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解析】选B.对于A，若m∥α，n∥α，则m，n相交、平行或异面，不对；对于B，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；对于D，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，D不正确.3.(2016·温州高二检测)设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题不正确的是()A.m⊥α，m⊥β，则α∥βB.m∥n，m⊥α，则n⊥αC.m⊥α，n⊥α，则m∥nD.m∥α，α∩β=n，则m∥n【解析】选D.A选项正确，两平面垂直于同一直线，两平面平行；B选项正确，两平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；C选项正确，两直线垂直于同一平面，两直线平行；D选项错误，由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知直线平行，由于m和β的位置关系不确定，不能确定线线平行.4.(2016·吉安高一检测)如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选D.因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC，又因为AC⊥BO，PO∩BO=O，所以AC⊥平面PBD，因此，平面PBD中的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直.5.如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的()A.AC⊥βB.AC⊥EFC.AC与BD在β内的射影在同一条直线上D.AC与α，β所成的角相等【解析】选D.因为AB⊥α，CD⊥α，所以AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面.选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以显然有EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α，β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.6.(2015·朔州高二检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1C1，B1D1的中点，设O是AC，BD的交点，则EO⊥平面ABCD，所以EO⊥BD，又CO⊥BD，CO∩EO=O，所以BD⊥面COE，所以BD⊥CE.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.B1E∥平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.B1E⊥BC1【解析】选D.对于A，因为在正方体中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BB1D1D，因为BE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BE，所以A正确.对于B，因为B1D1∥平面ABCD，所以B1E∥平面ABCD成立，即B正确.对于C，三棱锥E-ABC的底面△ABC的面积为定值，锥体的高BB1为定值，所以锥体体积为定值，即C正确.对于D，因为D1C1⊥BC1，所以B1E⊥BC1错误.8.(2016·福州高一检测)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0x1，设平面MEF∩平面MPQ=l，则下列结论中不成立的是()A.l∥平面ABCDB.l⊥ACC.平面MEF与平面MPQ不垂直D.当x变化时，l不是定直线【解析】选D.因为A1P=A1Q=x，所以PQ∥B1D1，又E，F分别是AB，AD的中点，故EF∥BD，从而PQ∥EF，而EF⊄平面MPQ，PQ⊂平面MPQ，故EF∥平面MPQ，且平面MEF∩平面MPQ=l，从而EF∥l，而l⊄平面ABCD，EF⊂平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故A正确；由EF∥BD，AC⊥BD，所以AC⊥EF，又EF∥l，所以AC⊥l，故B正确；设A1C1∩B1D1=H，连接MH，易证MH⊥平面MEF，而MH⊄平面MPQ，故平面MPQ与平面MEF不垂直，故C正确，综上，不正确的为D项.【补偿训练】如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为PA⊥☉O所在的平面，BC⊂☉O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC，故①正确；又因为AF⊂平面PAC，所以AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PCB，故②正确；而PB⊂平面PCB，所以AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，而EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB，故③正确；因为AF⊥平面PCB，假设AE⊥平面PBC，所以AF∥AE，显然不成立，故④不正确.二、填空题(每小题5分，共10分)9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C∥平面A1ABB1；②A1D1与平面BCD1相交；③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正确结论的序号是________.【解析】对于①，因为平面A1ABB1∥平面DCC1D1，而D1C⊂平面DCC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1，即①正确；对于②，因为A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，所以②错误；对于③，只有AD⊥D1D，而AD与平面BDD1内其他直线不垂直，所以③错误；对于④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易得BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以④正确.答案：①④10.(2016·杭州高二检测)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号).①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.【解析】将三角形ADE沿AE折起后几何体如图所示.①取DE，EC的中点分别为H，G，连接MH，HG，GN，则四边形MNGH为平行四边形，所以MN∥GH，而GH⊂平面DEC，MN⊄平面DEC，所以MN∥平面DEC，所以①正确.②因为MN∥GH，而AE⊥EC，AE⊥DE，EC∩DE=E，所以AE⊥平面EDC，所以AE⊥GH，故AE⊥MN，②正确.③因为GH与EC相交，而AB∥EC，故无论D折到何位置AB都不平行于MN，③错.④当EC⊥ED时，因为CE⊥AE，所以CE⊥平面AED，所以CE⊥AD，所以存在某个位置，使EC⊥AD，所以④正确.答案：①②④【补偿训练】AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号).(1)直线DE∥平面ABC.(2)直线DE⊥平面VBC.(3)DE⊥VB.(4)DE⊥AB.【解析】因为AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，所以AC⊥BC，因为VC垂直于☉O所在的平面，所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，.Com]所以AC⊥平面VBC.因为D，E分别是VA，VC的中点，所以DE∥AC，又DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，DE⊥平面VBC，DE⊥VB，DE与AB所成的角为∠BAC是锐角，故DE⊥AB不成立.由以上分析可知(1)(2)(3)正确.答案：(1)(2)(3)三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·重庆高一检测)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，点E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.【解题指南】(1)要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直.(2)要证明线面垂直，则先证明直线垂直于平面内的两条相交直线.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.又因为AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得△ABC是等边三角形，故AC=PA.因为点E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知：AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.又因为AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE.【拓展延伸】遵循从“低维”到“高维”的转化原则在解决线面、面面平行、垂直判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行、垂直”到“线面平行、垂直”，再到“面面平行、垂直”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.12.(2016·雅安高二检测)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE.(2)过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积.【解析】(1)因为CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，所以DE⊥平面A1CD.又因为A1C⊂平面A1CD，所以A1C⊥DE.又A1C⊥CD，DE∩CD=D，所以A1C⊥平面BCDE.(2)过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A1C，交A1B于H，连接EH.则截面EFH∥平面A1CD.因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=A1C=.因为A1C⊥平面BCDE，FH∥A1C，所以HF⊥平面BCDE，所以HF⊥FE.所以S△HFE=.【能力挑战题】如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥平面α，垂足为O.(1)证明：AB⊥平面ODE.(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【解析】(1)如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE.(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角.由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-M