辽宁省五校协作体20132014学年高二上学期期中考试数学理试题

中国权威高考信息资源门户——2014学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，123yxyN，则NM（）A、B、)0,2(),0,3(C、]3,3[D、2,32、以下有关命题的说法错误的是（）A、命题“若0232xx，则1x”的逆否命题为“若1x,则2320xx”B、若qp为假命题，则p、q均为假命题C、“1x”是“0232xx”的充分不必要条件D、对于命题0:pxR，使得20010xx，则:pxR，则210xx3、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A、9B、18C、27D、364、已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是（）A、1B、51C、53D、575、在平行六面体1111DCBAABCD中，设1132CCzACyABxAC，则zyx等于（）A、1B、32C、65D、6116、若双曲线12222byax的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A、5B、5C、2D、27、对任意非零实数ba,，定义ba的算法原理如上右侧程序框图所示。设a为函数xxycossin2的最大值，b为双曲线112422yx的离心率，则计算机执行该运算后输出结果是()中国权威高考信息资源门户、37B、47C、57D、278、已知曲线C：y＝22x，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A、(4，＋∞)B、(－∞，4]C、(10，＋∞)D、(－∞，10]9、已知抛物线)0(22ppxy与双曲线12222byax有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A、5＋12B、3＋1C、2＋1D、22＋1210、棱长均为1三棱锥ABCS，若空间一点P满足SCzSBySAxSP)1(zyx，则SP的最小值为（）A、1B、36C、63D、2611、已知椭圆14922yx的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）A、14922yxB、14922xyC、14922yxD、14922xy12、如图，过双曲线1251622yx的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MTMO（）A、1B、23C、45D、2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13、在随机数模拟试验中，若randx3（）,randy2（）rand（）表示生中国权威高考信息资源门户之间的随机数,共做了m次试验，其中有n次满足14922yx，则椭圆14922yx的面积可估计为。rand（）表示生成0到1之间的随机数14、与双曲线14522yx有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程是。15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|﹣|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若学科网OBOAOP2121，则动点P的轨迹为椭圆；③抛物线2ayx)0(a的焦点坐标是)0,41(a；④曲线191622yx与曲线1103522yx（＜35且≠10）有相同的焦点．其中真命题的序号为。16、点yxP,在函数4132xy的图象上运动，则2x﹣y的最大值与最小值之比为。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（10分）已知0a，设命题p:函数xya在R上单调递增；命题q:不等式210axax对xR恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。18、（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。19、（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，60DAB，AB∥CD，22ADCDAB，PD底面ABCD，M为PC的中点．（Ⅰ）证明：BDPC；ABCDPM第19题图中国权威高考信息资源门户（Ⅱ）若ADPD22，求二面角DBMP的余弦值。20、（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cabCB2coscos。(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若13b，4ca，求△ABC的面积。21、（12分）已知抛物线C：y2＝4x，直线l：y＝12x＋b与C交于A、B两点，O为坐标原点．(Ⅰ)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；(Ⅱ)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。22、（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为4,且过点(23)P，.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设0000(,)(0)Qxyxy为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点(0,22)A,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。中国权威高考信息资源门户——2014学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（理科答案）一．选择题：1.C；2.B；3.B；4.D；5.D；6.A；7.B；8.D；9.C；10.B；11.C；12.A．二．填空题：13．mn24；14．14522xy；15．③④；16．54.三、解答题：17、解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；……………2分又不等式ax2-ax+1＞0对x∈R恒成立，∴△＜0，即a2-4a＜0，∴0＜a＜4，……………4分∴q：0＜a＜4．而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真，q假，则a≥4；……………6分②若p假，q真，则0＜a≤1．……………8分所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．……………10分18、解：方法一、（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.………2分在△AOE中，AO=1，OE=,2721PB,2521PDAE∴.1473127245471cosEOA即AC与PB所成角的余弦值为1473.………6分（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则6ADF.连PF，则在Rt△ADF中.33tan,332cosADFADAFADFADDF设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.∴N点到AB的距离121AP，N点到AP的距离.6321AF………12分方法二、（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，中国权威高考信息资源门户、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，21，1），………3分从而).2,0,3(),0,1,3(PBAC设PBAC与的夹角为θ，则,1473723||||||cosPBACPBAC∴AC与PB所成角的余弦值为1473.………6分（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则)1,21,(zxNE，由NE⊥面PAC可得，.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0xzzxzxACNEAPNE化简得即∴163zx………10分即N点的坐标为)1,0,63(，从而N点到AB、AP的距离分别为1，63.…12分19、解：（Ⅰ）由余弦定理得2212212cos603BD，∴222BDABAD，∴90ABD，,//,DCABABBD∴BDDC．∵PD底面ABCD，BD底面ABCD，∴BDPD．又∵PDDCD，∴BD平面PDC，又PC平面PDC，∴BDPC．·································································6分（Ⅱ）已知1,AB2CDAD，2PD，由（Ⅰ）可知BD平面PDC，如图，以D为坐标原点，射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，中国权威高考信息资源门户则(0,0,0),D(3,0,0),B(0,2,0),C)2,0,0(P,2(0,1,).2M(3,0,0)DB，)22,1,0(DM，)2,2,0(CP，(3,2,0)CB.·········8分设平面BDM的法向量为(,,)mxyz，则00mDBmDM，∴022,0zyx，令2z，∴可取)2,1,0(m．··························9分同理设平面BMP的法向量为(,,)nabc，则00nCPnCB，∴)2,1,332(n．···························································································10分∴131331331,cosnm∴二面角DBMP的余弦值大小为1313．··············································12分20、解：（1）BaCbBccos2coscos∴由正弦定理：BACBBCcossin2cossincossin∴BACBcossin2)sin(……………………………………………………3分又∵ACBsin)sin(∴21cosBB0∴32B………………………………………………………6分（2）∵Baccabcos2222………………………………………………8分∴acacacca162122132∴3ac∴43322321sin21BacSABC………………………12分中国权威高考信息资源门户、解:(1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，代入直线y＝12x＋b可得b＝－12，………………………………………………1分∴l：y＝12x－12，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝4xy＝12x－12，消去y得x2－18x＋1＝0，∴x1＋x2＝18，x1x2＝1，(方法一)|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝54·x1＋x22－4x1x2＝20.………………………………………………4分(方法二)|AB|＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20.………………………………4分(2)假设存在满足要求的直线