高中数学人教A版必修4223同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．给出下列四个结论①AB→－AC→＝BC→；②0(a)＝0；③0(0)＝0；④若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解析①AB→－AC→＝CB→，∴①错．②0(a)＝0，∴②错．③0(0)＝0正确．④a与b共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.答案B2．下列叙述不正确的是()A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.B.b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线C．若m＝3a＋4b，n＝32a＋2b，则m∥nD．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c解析判断a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb.在A中，若b＝0时不成立．B正确．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正确．D也正确，所以应选A.答案A3．下列说法不正确的是()A．若AO→＝34OB→，则A，O，B三点共线B．若AO→＝34OB→，则AO→∥OB→C．若|λa|＝|λ||a|(λ∈R)，则λa与a方向相同D．若a＝4m＋n，b＝m＋n则a－b＝3m解析A、B、D正确，C错．应选C.答案C24．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD→＝a，BE→＝b，则BC→为()A.43a＋23bB.23a＋43bC.23a－23bD．－23a＋23b解析如右图所示，设AD与BE相交于O，则AO→＝23AD→，OD→＝13AD→，BO→＝23BE→，OE→＝13BE→.∴BC→＝2BD→＝2(BO→＋OD→)＝2(23BE→＋13AD→)＝43b＋23a，应选B.答案B5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果OA→＝3e1，OB→＝3e2，那么OD→等于()A．e1＋2e2B.2e1＋e2C.23e1＋13e2D.13e1＋23e2解析如图所示，OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋23AB→＝OA→＋23(OB→－OA→)＝13OA→＋23OB→＝e1＋2e2，应选A.3答案A6．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________.答案－27．若a，b为已知向量，且23(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.解析23(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，83a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－83a，∴c＝1213b－839a.答案1213b－839a8．有下面四个命题：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；④对于实数m，n和非零向量a，若ma＝na，则m＝n.其中真命题有________．解析由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．答案①②④9．如图所示，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.DC与OA交于E，设OA→＝a，OB→＝b，用a，b表示向量OC→，DC→.4解因为A是BC的中点，所以OA→＝12(OB→＋OC→)，即OC→＝2OA→－OB→＝2a－b.DC→＝OC→－OD→＝OC→－23OB→＝2a－b－23b＝2a－53b.10．已知：AD→＝3AB→，AE→＝3AC→，且B，C，D，E不共线．求证：BC∥DE.证明∵AD→＝3AB→，AE→＝3AC→，∴DE→＝AE→－AD→＝3AC→－3AB→＝3(AC→－AB→)＝3BC→.∴BC→与DE→共线．又∵B，C，D，E不共线．∴BC∥DE.教师备课资源1.若5AB→＋3CD→＝0，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．等腰梯形解析由于5AB→＋3CD→＝0知，AB→∥CD→且|AB→|≠|CD→|，∴此四边形为梯形．又|AD→|＝|BC→|，∴梯形ABCD为等腰梯形．答案D2．点P是△ABC所在平面内一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()5A．△ABC的内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上解析∵CB→＝λPA→＋PB→，∴CB→－PB→＝λPA→，即CB→＋BP→＝λPA→.∴CP→＝λPA→.∴C，P，A三点共线．∴点P在AC边所在的直线上．答案B3．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，求x，y.解∵a与b不共线，根据向量相等得5x＝3y＋27，8－y＝4x，解得x＝3，y＝－4.∴x＝3，y＝－4.4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→解析∵2OA→＋OB→＋OC→＝0，而OB→＋OC→＝2OD→，∴2OA→＋2OD→＝0，即OA→＋OD→＝0，∴AO→＝OD→.答案A5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示a，b，c的有向线段能否一定构成三角形？错解在平面内任取一点A，作AB→＝a，再以B为起点作BC→＝b，则由向量的三角形法6则知，AC→＝a＋b，又a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)＝－AC→＝CA→.因此，当a＋b＋c＝0时，表示a，b，c的有向线段一定能构成三角形．错因分析上述解法只考虑了一般情况，而忽视了向量共线的特殊情况．正解(1)当a，b不共线时，即为上述解法，这时表示a，b，c的有向线段一定能构成三角形．(2)当a，b共线时，由a＋b＋c＝0知，c＝－(a＋b)．显然c也与a，b共线，这时表示a，b，c的有向线段不能构成三角形．综上知，若非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示a，b，c的有向线段不一定能构成三角形．