高中数学人教A版必修四课时训练13三角函数的诱导公式13一Word版含答案

§1.3三角函数的诱导公式(一)课时目标1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于________对称－α与α关于________对称π－α与α关于________对称2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.一、选择题1．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.322．若n为整数，则代数式sinnπ＋αcosnπ＋α的化简结果是()A．±tanαB．－tanαC．tanαD.12tanα3．若cos(π＋α)＝－12，32πα2π，则sin(2π＋α)等于()A.12B．±32C.32D．－324．tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α的值为()A.m＋1m－1B.m－1m＋1C．－1D．15．记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k26．若sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53B．－53C．±53D．以上都不对二、填空题7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.8．三角函数式cosα＋πsin2α＋3πtanα＋πcos3－α－π的化简结果是______.9．代数式1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°的化简结果是______．10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2009)＝1，则f(2010)＝____.三、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3πcosπ－α－cos－π－αcosα－4π的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.能力提升13．化简：sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ]sinkπ－θ·coskπ＋θ(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～π2求值2.诱导公式的记忆这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．§1.3三角函数的诱导公式(一)答案知识梳理1．原点x轴y轴2．(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα作业设计1．A2.C3．D[由cos(π＋α)＝－12，得cosα＝12，∴sin(2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－32(α为第四象限角)．]4．A[原式＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝m＋1m－1.]5．B[∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝1－k2.∴tan80°＝1－k2k.∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]6．B[∵sin(π－α)＝sinα＝log22－23＝－23，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－1－sin2α＝－1－49＝－53.]7．－338．tanα解析原式＝－cosα·sin2αtanα·cos3α＋π＝－cosα·sin2α－tanα·cos3α＝cosα·sin2αsinα·cos2α＝sinαcosα＝tanα.9．－1解析原式＝1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos720°＋70°＝1－2sin110°cos70°－sin70°＋cos70°＝1－2sin70°cos70°cos70°－sin70°＝|sin70°－cos70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.10．3解析f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2＝2－(asinα＋bcosβ)＝1，∴asinα＋bcosβ＝1，f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＋2＝asinα＋bcosβ＋2＝3.11．解原式＝－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α－cosα－－cosαcosα＝sinα－sinαcosα－cosα＋cos2α＝sinα1－cosα－cosα1－cosα＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－23，∴cosα＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cosα＝23，sinα＝1－cos2α＝53，∴tanα＝sinαcosα＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cosα＝23，sinα＝－1－cos2α＝－53，∴tanα＝sinαcosα＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.12．证明∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴α＝2kπ＋π2－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝tan22kπ＋π2－β＋β＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴原式成立．13．解当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ]sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ＝sinπ＋θ·cosπ－θ－sinθ·cosθ＝－sinθ·－cosθ－sinθ·cosθ＝－1.当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝sin[2n＋2π＋θ]·cos[2n＋2π－θ]sin[2n＋1π－θ]·cos[2n＋1π＋θ]＝sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ]sinπ－θ·cosπ＋θ＝sinθ·cosθsinθ·－cosθ＝－1.∴上式的值为－1.14．解由条件得sinA＝2sinB，3cosA＝2cosB，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±22，又∵A∈(0，π)，∴A＝π4或34π.当A＝34π时，cosB＝－320，∴B∈π2，π，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．∴A＝π4，cosB＝32，∴B＝π6，∴C＝712π.