高中数学人教A版选修23第三章统计案例31学业分层测评Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中x－，y－分别相同，则下列说法正确的是()A．l1与l2一定平行B．l1与l2重合C．l1与l2相交于点(x－，y－)D．无法判断l1和l2是否相交【解析】回归直线一定过样本点的中心(x－，y－)，故C正确．【答案】C2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？()A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．【答案】A3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是()【解析】用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．【答案】A4．对于指数曲线y＝aebx，令U＝lny，c＝lna，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为()A．U＝c＋bxB．U＝b＋cxC．y＝c＋bxD．y＝b＋cx【解析】由y＝aebx得lny＝ln(aebx)，∴lny＝lna＋lnebx，∴lny＝lna＋bx，∴U＝c＋bx.故选A.【答案】A5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为()A.y^＝x－1B.y^＝x＋1C.y^＝88＋12xD.y^＝176【解析】设y对x的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，因为b^＝－2×－1＋0×－1＋0×0＋0×1＋2×1－22＋22＝12，a^＝176－12×176＝88，所以y对x的线性回归方程为y^＝12x＋88.【答案】C二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(a^，b^)如下表：甲乙丙丁R20.670.610.480.72Q(a^，b^)106115124103则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为________．【解析】丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(a^，b^)最小．此时A，B两变量线性相关性更强．【答案】丁7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：与实际相符数据个数与实际不符合数据个数总计甲回归方程32840乙回归方程402060总计7228100则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更贴近)．【解析】可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为3240＝45，而乙回归方程的数据准确率为4060＝23.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．【答案】甲8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元.【导学号：97270060】【解析】∵x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.【答案】10.5三、解答题9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：x3456789y66697381899091(1)求样本点的中心；(2)画出散点图；(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．【解】(1)x－＝6，y－≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)．(2)散点图如下：(3)因为b^＝i＝17xi－x－yi－y－i＝17xi－x－2≈4.75，a^＝y－－b^x－≈51.36，所以y^＝4.75x＋51.36.10．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：时间x/天123456繁殖个数y612254995190(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程．【解】(1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，则x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器算得，z^＝0.69x＋1.112，则有y^＝e0.69x＋1.112.[能力提升]1．(2016·青岛一中调研)某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表：考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为()A．y＝0.7x＋5.25B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25D．y＝－0.7x＋5.25【解析】由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.考试次数的平均数为x＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为y＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.【答案】D2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356若x与y具有线性相关关系，则线性回归方程为________．【解析】i＝1nxiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x－＝6＋8＋10＋124＝9，y－＝2＋3＋5＋64＝4，i＝1nx2i＝62＋82＋102＋122＝344，b^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a^＝y－－b^x－＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y^＝0.7x－2.3.【答案】y^＝0.7x－2.33．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：时间二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均气温x(℃)381217旬销售量y(件)55m3324由表中数据算出线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，样本中心点为(10,38)．(1)表中数据m＝__________.(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．【解析】(1)由y＝38，得m＝40.(2)由a^＝y－b^x，得a^＝58，故y^＝－2x＋58，当x＝22时，y^＝14，故三月中旬的销售量约为14件．【答案】(1)40(2)144．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图3­1­2xywi＝18(xi－x)2i＝18(wi－w)2i＝18(xi－x)(yi－y)i＝18(wi－w)(yi－y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w]＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i＝1nui－uvi－vi＝1nui－u2，α^＝v－β^u.【解】(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于d^＝i＝18wi－wyi－yi＝18wi－w2＝108.81.6＝68，c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.