高二数学同步单元练习必修2专题03空间几何体的表面积与体积A卷Word版含解析

（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是()A.13B.12C.23D.34解析：选C∵VC－A′B′C′＝13V柱＝13，∴VC－AA′B′B＝1－13＝23.2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18解析：选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48B．32＋817C．48＋817D．805．设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.92π＋12B.92π＋18C．9π＋42D．36π＋18解析：选B由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体，其体积V＝4π3323＋32×2＝9π2＋18.6．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()A．2∶3B．4∶9C.2∶3D.8∶27解析：选B设两个球的半径分别为r1，r2，则V1V2＝r31r32＝827.∴r1r2＝23，S1S2＝r21r22＝49.7．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3B.32π3C．8πD.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π()R2－12＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.8．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：选B由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线为a2＋a2＋a2＝6a，又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝6a，则S球＝4πR2＝4π62a2＝6πa2.9．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为()A．4∶3B．3∶1C．3∶2D．9∶4解析：选C作轴截面如图，则PO＝2OD，∠CPB＝30°，CB＝33PC＝3r，PB＝23r，圆锥侧面积S1＝6πr2，球的面积S2＝4πr2，S1∶S2＝3∶2.10．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π11．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A．25πB．50πC．125πD．都不对B由题意知球为长方体的外接球．设球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋52，∴R2＝252，∴S球＝4πR2＝4π×252＝50π.12．一个空间几何体的三视图如图L1­3­5所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为()图L1­3­5A．64，48＋162B．32，48＋162C.643，32＋162D.323，48＋162B由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示．体积V＝12×4×4×4＝32，表面积S＝2×12×42＋4×(4＋4＋42)＝48＋162.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则其表面积为________．解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h＝132－18－822＝12(cm)，所以S侧＝4×12×(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1012(cm2)．答案：1012cm215．圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm，则这个铁球的表面积为________cm2.解析：设该铁球的半径为r，则由题意得43πr3＝π×102×53，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．答案：100π16．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．答案：πa2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图是某几何体的三视图．(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)，所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积为V＝π×12×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.18．已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，有VD＝VB2－BD2＝42－32＝13，则S△VBC＝12×VD×BC＝12×13×23＝39，S△ABC＝12×(23)2×32＝33，所以，三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．19．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为多少？该几何体的体积V＝2V球＋V长方体＝2×43π323＋6×1×3＝18＋9π.20．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.21．(2012·潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1＝24cm，r2＝15cm，两截面间的距离为d＝27cm，求球的表面积．∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)．22．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体的表面积及体积．解：易知所得的几何体是由一个圆台截去一个圆锥所得的组合体，且CE＝DE＝AD＝2，BC＝5，则S表面＝S圆台底面＋S圆台侧面＋S圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝60π＋42π，V＝V圆台－V圆锥＝13π(22＋2×5＋52)×4－13π×22×2＝1483π.