全等三角形模型八年级

/第1页共11页课题全等三角形模型教学目标对历年常考全等三角形三种类型重难点一线三等角、手拉手、半角模型导案学案教学流程一、基础知识网络总结与巩固1.找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.2.证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.3.证明角相等的方法.（重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.4.三角形中常见辅助线的作法.（重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高）；（4）取长补短法（截取法）.5.全等三角形证明中常见图形：/第2页共11页二、重难点例题启发与方法总结类型一手拉手模型例1.（1）作图发现如图1，已知ABC，小涵同学以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE．连接BE、CD．这时他发现BE与CD的数量关系是．（2）拓展探究如图2．已知ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD、试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得45ABC，90CAE，200BCAB米．AEAC，则BE=米．/第3页共11页巩固练习1.如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：CD∥BE．拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．2.如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M,BD交AC于点N,证明：（1）BD=CE（2）CEBD3.如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．/第4页共11页类型二一线三直角例1.（2014年四中期末）如图①所示，在ABC中，90BACº，ACAB，AE是过点A的一条直线，且B、C两点在AE的异侧，AEBD于点D，AECE于点E。（1）求证：CEDEBD;①（2）若直线AE绕A点旋转到如图②所示的位置（CEBD）时，其余条件不变，则BD与CEDE、的关系如何？请予以证明。②练习巩固1.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF．（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下三种可能的位置时，EF、AE、BF三者之间的数量关系．（直接填空）①当AD＞BD时，关系是：；②当AD=BD时，关系是：点E、点F都与点D重合，AE=BF；③当AD＜BD时，关系是：．3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°，E是BC边上任意一点，过点C作CF⊥AE，/第5页共11页垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD．（2）若AE是BC边上的中线，且AC=12cm，求BD的长．4.如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．（1）试探索α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．（2）如果BD=3，AB=9，AC=6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．类型三一线三等角/第6页共11页例1.（2014年九中期末）如图，在△ABC中，BC=2，点D、E分别在边BC、AC上，连结AD、DE，且∠ADE=∠B=∠C=45°。当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），若△ADE是等腰三角形，则BD的长为。练习1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且有BF=CD，BD=CE．（1）求证：△BDF≌△CED；（2）若设∠FDE=α，则用α表示∠A．2．（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．3.如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、/第7页共11页N分别是AE、CD的中点．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）判定△BMN的形状，并证明你的结论．类型四半角模型例1.问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．巩固练习1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．2.（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点/第8页共11页G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．四、重难点关联练习巩固与方法总结1.已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF＝DE，则AB∥CD，为什么？DCABEF2.如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN=BM．（1）求证：△ANO≌△BMO；（2）求证：OM⊥ON．3．已知：如图：AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F，求证：（1）OA=OD；（2）BE=CF．4．如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．/第9页共11页（1）求证：△BEC≌△CFA；（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．五、课后强化巩固练习与方法总结1．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A′B′C．若∠A=40°，∠B′=110°，则∠ACB′=20°，则∠BCA′的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°2．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠DB．AC=DFC．∠ACB=∠FD．BC=EF3．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．5.如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加/第10页共11页一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．6.如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．7.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．8.作图发现/第11页共11页如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是．（2）拓展探究如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．9.图1、图2中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于F，探究CEF的形状，并证明你的结论．六、本次课程重点核心笔记与分析、方法总结