与圆有关的最值问题求解策略

xyOCPQxyOCBQA与圆有关的最值问题的求解策略江苏省苏州中学江小娟圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助．类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：22(3)1xy上任一点，则PQ的最小值为.【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x+1的距离22d，圆半径1r，故221PQPCr变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C22(3)1xy上任一点，则QABSV的最小值为.【分析】本题要求QABSV的最大值，因为线段AB为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q到ABl的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1．解：如图2，设Qh为Q到ABl的距离，则122(221)422QABQQSABhhV图1图2变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：22(3)1xy引切线，则切线长的最小值为【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解．因为222PAPCr，故即求PC的最小值，即例1．解：如图3，22221PAPCrPC，∵min22PC，∴min7PA变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：22(3)1xy的切线PA，PB,A、B为切点，则当PC=时，APB最大．【分析】APBAPC，故即求角APC的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC的xyOCxyOCPAxyOCPAB最小值，即例1．解：如图4，∵APBAPC，1sinAPCPC,∵min22PC,∴22PC时，APC最大，即APB最大．图3图4变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：22(3)1xy的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为.【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PACPABPABSSSSPAACPA四边形PACB，由变式2可知，min7PA，故四边形PACB面积的最小值为7【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另：和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点，构造直销三角形“进行求解．也即将“两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C：222430xyxy，从圆C外一点11(,)Pxy向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标．【分析】本题中，由于点P和点M均在动，故直接做很难求解．联系到PM是切线段，因此可利用222PMPCr将条件PM=PO转化为只含有一个变量P的式子即可求解．解：由题意，令(,)Pxy，∵222PMPC，∴222PCPO，即2222(1)(2)2xyxy，化简得：2430xy．∵PM=PO，∴即求直线2430xy到原点O(0,0)的最小距离．20403351025d，易得PM的最小值为3510.xyOC类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x、y满足22240xyxy，求x-2y的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5xy，令15cos()25sinxRy，则255cos25sin5cos()5xy（其中525cos,sin55）∴当cos()1时，max(2)550xy，故x-2y的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义，可以转化为线性规划问题求最值．比如例2，除了用圆的参数方程求解，还可以联想到在线性规划问题中，这类题通常转化为直线方程的纵截距求解．解法二：令2xyz,则1122yxz，由题意，当直线的纵截距最小时，z最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离555zd，故010z或，由题意，max0z，即x-2y的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12yx，22(2)(1)xy，1xy的取值范围，则可以分别用如下方法求解：对12yx，转化为圆上任意一点P到点(2,1)A连线斜率的最大值，可设过点(2,1)A的直线为1(2)ykx，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离23151kdk，可得122k或，故1[2,)(,]2k．对22(2)(1)xy，转化为圆上任意一点P到点(2,1)A距离的平方的取值范围，由例1易得[5,5]PACACA，即222(2)(1)[50102,50102]PAxy对1xy，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P到直线10xy的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为22，故圆上任一点P(x,y)CAEFGHxyOMN到直线10xy的距离1[225,225]2xy，即1[410,410]xy.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4（2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221xy，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则PAPB的最小值为【分析】本题中，由于A、B都是动点，故将PAPB转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APB，cos2PAPBPAPB，而切线段PA=PB也可用表示，故所求式可转化为关于的三角函数求解．解：令2((0,))2APB，cos2PAPBPAPB，1tanPAPB，∴222222cos2coscos2(1sin)(12sin)tansinsinPAPB，令2sin(0)tt，则(1)(12)123223ttPAPBttt（当且仅当22t，即22sin2时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24xy（），过点(1,0)A做两条互相垂直的直线12ll、，1l交圆C与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2)求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，难点是转化后要利用基本不等式的相关知识点．PABO解：（1）令圆心C到弦EF的距离为1d，到弦GH的距离为2d，则EF+GH22122(44)dd，又222121ddCA，由：22221212448()81142222dddd（当且仅当1222dd取等号）故EF+GH812142（2）∵EFGH，∴222212128()12442722ddSEFGHdd四边形EFGH（当且仅当1222dd取等号）【解题回顾】本题（1）是利用2222abab，（2）是利用2abab．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．