相关函数

相关函数１．自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为（2.4.6）对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2.4.7）自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。例如信号的自相关函数为若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即，则对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即（2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为（2.4.10）当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。自相关函数的性质可用图2.4.3表示。图2.4.3自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：（1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。时间历程自相关函数图形正弦波正弦波加随机噪声窄带随机噪声宽带随机噪声图2.4.4四种典型信号的自相关函数（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。图2.4.5所示为噪声对相关函数的影响。图2.4.5噪声对相关函数的影响2．互相关函数随机信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为(2.4.11)互相关函数具有如下性质：（1）互相关函数不是偶函数，是不对称的。图2.4.6为两个随机信号x(t)和y(t)及其互相关函数图形，其峰值偏离了原点的位置反映了两信号的时差。例如在位置达到最大值，则说明y(t)导前时间x(t)与y(t)最相似。（2），即x(t)与y(t)互换后，它们的互相关函数对称于纵轴（图2.4.7），说明使信号y(t)在时间上导前与使另一信号x(t)滞后，其结果是一样的。（3）若两个随机信号x(t)和y(t)没有同频率周期成分，是两个完全独立的信号，则当时有(2.4.12)（4）频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同。例如两个周期信号为和，则其互相关函数为(2.4.13)用互相关系数表示互相关程度，即(2.4.14)互相关系数反映了两个随机信号之间的相关性，且。若x(t)和y(t)之间没有同频率的周期成分，那么当τ很大时就彼此无关，即。微弱信号的检测互相关函数的这些性质，使得它在检测技术中具有广泛的应用。最常见的应用有以下几种：（1）确定时间延迟。假如某信号从A点传播到另一点B点，那么在两点拾取的信号x(t)和y(t)之间的互相关函数，将在相当于两点之间时间延迟τ的位置上出现一个峰值。利用确定延迟时间的方法可以测量物体的运动速度，图2.4.8为测定轧钢时钢板运动速度的示意图。利用两个距离为d的光电传感器A和B，得到钢板表面反射光强度变化的光电信号x(t)和y(t)，经互相关分析，确定时移τ，当τ等于钢板通过两个测点间的时间时，两信号的互相关函数为最大值，则运动物体的速度为（2）识别传输路径。假如信号从A点到B点有几个传输路径，则在互相关函数中就有几个峰值，每个峰值对应于延迟了时间的一个路径，例如用于声源和声反射路径的识别。（3）检测淹没在外来噪声中的信号。假如信号s(t)受到外界的干扰形成复合信号a(t)和b(t)，即a(t)=s(t)+n(t)，b(t)=s(t)+m(t)，（s(t)是有用信号，可以是确定性的或者随机的，而n(t)和m(t)是互不相关的噪声），那么互相关函数将仅含有a(t)和b(t)中的相关部分s(t)的信号，而排除了外来噪声的干扰。（4）系统脉冲响应的测定。在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数就是被测系统的脉冲响应。这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。