中考针对性训练――几何探究压轴题(有答案详解)

针对性训练-----几何探究题1.如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD.（1）求证:△APB≌△DPC；（2）求证:∠PAC=21∠BAP；（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD∥BC,且BA=AD=DC,形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC,试问(2)中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.ABDCP图1PCDAB图2②2．如图1，在ABC△中，ACB∠为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果ABAC，90BAC∠，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CFBD、所在直线的位置关系为__________，线段CFBD、的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC∠是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点CF、不重合），并说明理由．(3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。图1ABDFEC图2ABDECFFD图3ABDCE图2BCADEBCAGDFE图13.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．ABCDERPHQABCDERPHQABCDERPHQABCDEMN图18ABCDEMN图19图17NMEDCBA5．如图17，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．⑴探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．①如图18，k＝1；②如图19，AB＝AC．⑵若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．6.已知，CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACB．EF，分别是直线CD上两点，且BECCFA．（1）若直线CD经过BCA的内部，且EF，在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图9-1，若90BCA，90，则BECF；EFBEAF（填“”，“”或“”）；②如图9-2，若0180BCA，请添加一个关于与BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图9-3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请提出EFBEAF，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．ABCEFDDABCEFADFCEB图9-1图9-2图9-37．在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时LQ；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）．GBDCEFA参考答案1.(1)略（2）略（3）设yBAPxPAC,，)60(xDCACAD则yPDCxyxX6060型得，由得xy2即BAPPAC212．（1）①垂直，相等；……………1分②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．………………2分由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90º．∵∠BAC＝90º，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90º，AB＝AC，∴∠ABC＝45º，∴∠ACF＝45º，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90º．即CF⊥BD.…………5分（2）当∠ACB＝45º时，CF⊥BD（如图）．…………6分理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90º，∵∠ACB＝45°,∠AGC＝90°—∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠AGC，∴AC＝AG，∵点D在线段BC上，∴点D在线段GC上，由（1）①可知CF⊥BD.…7分（3）如图：作AQBC于Q∵∠ACB=45°AC=42∴CQ=AQ=4∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°∴△ADQ∽△DPC∴DQPC=AQCD设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x则xPC4=4x∴PC=41(－x2+4x)=－41(x－2)2+1≥1当x=2时，PC最长，此时PC=1BCAGDFE图13.（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．…….3分（2）GE＝BE＋GD成立．理由是：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．……..4分∴GE＝GF∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．…..5分（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC∴∠A＝∠B＝90°．又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．………6分∴AG＝BC＝12．已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG．..7分设DE＝x，则DG＝x－4，∴AD＝AG－DG=12－（x－4）=16－x．在Rt△AED中，∵222AEADDE，即222816xx．解这个方程，得：x＝10．∴DE＝10．4.（1）RtA，6AB，8AC，10BC．点D为AB中点，132BDAB．90DHBA，BB．BHDBAC△∽△，DHBDACBC，3128105BDDHACBC．---------------2分（2）QRAB∥，90QRCA．CC，RQCABC△∽△，RQQCABBC，10610yx，即y关于x的函数关系式为：365yx．-------5分（3）存在，分三种情况：①当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM．1290，290C，1C．BCADEGABCDERPHQM2184cos1cos105C，45QMQP，1364251255x，185x．--------8分②当PQRQ时，312655x，6x．-------10分③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，11224CRCEAC．tanQRBACCRCA，366528x，152x．-----13分综上所述，当x为185或6或152时，PQR△为等腰三角形．-----14分5．（1）∠ANB+∠BAE=180º．……1分证明：（法一）如图1，延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF.………………2分∵点M是DE的中点，∴DM=ME，∴四边形ADFE是平行四边形，……………3分∴AD∥EF，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180º，∵∠BAC+∠DAE=180º，∴∠BAC=∠AEF，………4分∵AB=kAE，AC=kAD，∴ADACAEAB，∴EFACAEAB……6分∴△ABC∽△EAF∴∠B=∠EAF…………8分∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º即∠ANB+∠BAE=180º，…………10分（法二）如图2，延长DA到F，使AF=AD，连接EF.………2分∵∠BAC+∠DAE=180º，∠DAE+∠EAF=180º，∴∠BAC=∠EAF，………………3分∵AB=kAE，AC=kAD，∴ADACAEAB，∴AFACAEAB，………4分∴△ABC∽△AEF，………5分∴∠B=∠AEF，………6分∵点M是DE的中点，∴DM=ME，ABCDERPHQABCDERPHQMADNEBCF图1MADNEBCFKH图2又∵AF=AD，∴AM是△DEF的中位线，∴AM∥EF，……7分∴∠NAE=∠AEF，∴∠B=∠NAE，……8分∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º，∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180º，即∠ANB+∠BAE=180º．………10分(2)变化．如图3（仅供参考），∠ANB=∠BAE．……12分选取（ⅰ），如图4.证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF.∵点M是DE的中点，∴DM=ME∴四边形ADFE是平行四边形，…………4分∴AD∥FE，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180º，∵∠BAC+∠DAE=180º，∴∠BAC=∠DAE，………6分∵AB=kAE，AC=kAD，1k，∴AB=AE，AC=AD，∴AC=EF，……7分∴△ABC≌△EAF，∴∠B=∠EAF，…8分∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º，∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º，即∠ANB+∠BAE=180º．……10分选取（ⅱ），如图5.证明：∵AB=AC，∴∠B=21（180º-∠BAC），…………3分∵∠BAC+∠DAE=180º，∴∠DAE=180º-∠BAC，∴∠B=21∠DAE，∵AB=kAE，AC=kAD，∴AE=AD，∵AM是△ADE的中线，AB=AC，∴∠EAM=21∠DAE，∴∠B=∠EAM，………4分∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º，∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180º，即∠ANB+∠BAE=180º．…5分ABCDEMNF图4ABCDMN图5E图3ABCDEMN6.（1）①；；2分②所填的条件是：180BCA．4分证明：在BCE△中，180180CBEBCEBEC．180BCA，CBEBCEBCA．又ACFBCEBCA，CBEACF．又BCCA，BECCFA，()BCECAFAAS△≌△．BECF，CEAF．又EFCFCE，EFBEAF．7分（2）EFBEAF．7.（I）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时32LQ．（II）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．CDBD,且120BDC．30DCBDBC．又ABC是等边三