2010全国大学生数学建模竞赛A题贵州一等奖

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：毕节学院参赛队员(打印并签名)：1.罗卫2.陈友华3.张德秀指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数学建模教练组日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：分析储油罐的变位对罐容表标定的影响摘要本文通过对微积分性质求面积和体积的分析，首先建立高度h和面积s的函数关系式，然后通过体积是面积和高度乘积求积分，得出油罐无变位和倾斜变位后罐内油位高度与储油量的关系式，运用Matlab软件拟合出无变位和倾斜两种情况的数据与两种实验数据进行比较，从而得到罐体变位后对罐容表的影响。问题一，首先针对油罐无变位时小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）中椭圆的有关性质建立直角坐标系得出油位高度与储油量的关系，其次针对油罐倾斜=4.10，油罐内的油因为倾斜，当油还没有达到一定高度或超过探针入口时其高度不显示或不再变化。因此，将这一过程分为五种情况分别讨论。通过Matlab计算得到：情况一，当00.4lm时，H=0，1V=1.6764L。情况二，当0.42.45lm时，02.05*tanH，2V=1.3709e+002-1.2086e-008i。情况三,2.45lm时，2.05tan1.20.4tanH，3V=3.9600e+003。情况四，1.20.4tan1.2H时，4V=4.0125e+003。情况五，1.2H时，5V4V=4.0125e+003。最后用建立的模型给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，其拟合数据较接近。问题二是在针对问题一的基础上对复杂油罐在纵向倾斜和横向偏转的情况下进行的体积积分，将油罐分成圆柱体和球冠体两部分，总体积12VVV。其中中间圆柱体的体积算法与问题一基本一致，以左边切割的圆建立直角坐标系，又经计算得到油面直线方程式1.5tanyhx实，但由于计算复杂，没有得出最后的结论。关键词：储油罐罐容表定积分MATLAB拟合一问题重述1．1问题提出石油被称为工业的血液，而工业是第二产业，我国作为一个发展中国家经济增长的方式主要还是靠第二产业，因此，为了保证机动车辆及机器的正常运转，通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。现有以下两个问题需要解决：（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3m油位高度图1储油罐正面示意图油位探针二模型假设与符号说明油位探针α地平线图2储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线(b)小椭圆油罐截面示意图α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05m17cmcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小椭圆油罐正面示意图图4小椭圆型油罐形状及尺寸示意图图3储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线β地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地平线油3m油问题一2．1模型假设（1）假设油位探针在测量油位高度时，无论储油罐是否发生变位，探针与储油罐的接触点始终不变。（2）假设储油罐在发生变位后并不发生变形。即其体积不因为变位而发生变化。（3）假设油浮子足够小，以致于可以把其看作质点。（4）假设在开始注油之前，罐内没有油，即罐内的油忽略不计，并且在储油罐发生变位以后，所进的油不会溢出。2．2符号说明b——椭圆的短半轴a——椭圆的长半轴L——小椭圆油罐的底边长V——小椭圆油罐没有变形时的体积S总——小椭圆油罐积分后的总面积1V2V3V4V5V——椭圆油罐倾斜后不同阶段的体积l——小椭圆油罐的底边变化着的任意值'h——所对应的油位探针读数0h——'h所对应的y轴上读数H——探针读数的变化范围（0，1.2）问题二2．3模型假设（1）假设油浮子足够小和灵活，且不论加多少油，都能准确显示探针方向的油位高度。（2）当油罐发生变位以后，油浮子任然能准确显示探针方向的油位高度。（3）假设所有同油罐主体相连的通道接触都很好，也就是不会出现漏油现象。（4）假设油浮子接触油罐主体部分顶部时，超过接触点进入连接油罐内部通道的油忽略不计。（5）假设油罐两底的直径均相等，即是油罐的变位不是由于直径的差值而影起的。（6）设在测量时，油位探针的零点始终抵住油罐底部的钢板。（7）假设储油罐的内外壁间的厚度忽略不计，探针测得的最大油量为油罐体积。（8）假设储油罐不因为变位而变形，即其仍为规则的几何体。2．4符号说明s——圆形油罐求积分后的面积r——圆半径R——球冠所属球的半径1v2v3v4v5v——圆油罐倾斜后不同阶段的体积L——油罐圆柱体底边的长（8m）l——储油罐的底边变化着的任意值（0,8）——纵向倾斜角度——横向偏转角度三模型建立与求解问题一3．1模型建立3．1．1问题的分析由于涉及的罐体分为无变位和倾斜两种情况，且它们的罐容量标定变化很大。然而，罐体的倾斜是在无变位的基础上由于地形等原因而发生的，所以也存在一定的联系。现在，我们先来讨论无变位的情况。（1）罐体无变位时的情况：由于图4的小椭圆型储油罐是两端平头的椭圆柱体，其立体图以及侧面的椭圆建立直角坐标系如图所示：根据椭圆的一般式：2222x1ayb【1】得X=22abyb又22222arcsin222ybybydybycb其中a=0.89mb=0.6m现对y轴（-0.6，h-0.6）上的面积求积分，则0.6h0.6x*dyS右0.6h220.60.89/0.6*0.6dyy10.89*0.6**(1.2)0.36arcsin/0.610.1820.6hhhh故S总=2*S右=2*0.6h0.6x*dy=0.890.6*0.6**(1.2)0.36arcsin10.180.6hhhh体积V=S总*L=0.890.6*L*0.6**(1.2)0.36arcsin10.180.6hhhh其中L=2.45m(2)罐体变位后的情况，即=4.10时的罐容表的影响:由于罐体变位后，油首先倾斜向一边，所以当油还没有达到一定的量或着超过一定的量的时候，其高度h不随容量的增加而显示，现以图4所示为例画出其示意图如下：由'tanhl得'tanhl由相似三角形的性质：'00.4hlhl得'00.4tanhh罐体倾斜时油面经过的路线为直线，设为y则0tanyxh'(0.4)tanxh现分五种情况进行讨论，其中情况一和情况五两种情况属于特殊情况，情况一：油罐倾斜时，由于一开始油很少，当倾斜的油面位于油位探针的下底之下时，即00.4lm,油面高度探针的读数始终为零，探针指数所显示的高h不与储油量变化而变化。当00.4lm时，H=0,由上面的()sh=0.890.6*0.6**(1.2)0.36arcsin10.180.6hhhh0tanyxh在这儿，h是y上的一系列变化的高值，因此在S与h的函数关系式中用0tanyxh来代替h所以0.89()*[(tan0.6)*(tan)*(1.2tan)0.6shhxhxhx体积0.41(max)0()Vshdx0.400.89*[(tan0.6)*(tan)*(1.2tan)]0.6hxhxhxdx0.400.89[(tan0.6)*(tan)*(1.2tan)]0.6hxhxhxdx情况二在情况一的基础上,当0.42.45lm时，探针读出的高度随着油量的增多开始增大。当0.42.45lm时，02.05*tanH体积20.4()lVshdx0.40.89*[(tan0.6)*(tan)*(1.2tan)]0.6lhxhxhxdx0.40.89[(tan0.6)*(tan)*(1.2tan)]0.6lhxhxhxdx情况三当油面刚好到达左上角且y与小油罐的上底的夹角为4.10时，即2.45lm时，2.05tan1.20.4tanH体积2.4530()Vshdx2.4500.89[(tan0.6)*(tan)*(1.2tan)]0.6hxhxhxdx情况四在情况三的基础上继续加油,当油面刚好到达油罐口时,即1.20.4tan1.2H体积1.241.20.4tan()Vshdx1.21.20.4tan0.89[(tan0.6)*(tan)*(1.2tan)]0.6hxhxhxdx情况五这种情况与情况一基本相同,即油面已经超过油浮子高度,继续加油探针读数已不在上升。即1.2H时因此，这种情况在这里不再讨论。3．2模型的求解（1）对罐体没有变位时的罐内油位高度h与储油量V的对应关系在Matlab中的命令：l=2.45h1=0:1/n:1.2;h=h1n=10000s=(h.*sqrt(1.2*h-h.^2)-0.6*sqrt(1.2*h-h.^2)+0.36*asin(h/0.6-1)+0.18*pi)*0.89/0.6;V=s.*l*1000算出近似的v值模型图为与不变位累减实测数据相比较loadbubianwei.txt;a=bubianwei;l=2.45h1=0:1/n:1.2;h=h1n=10000s=(h.*sqrt(1.2*h-h.^2)-0.6*sqrt(1.2*h