圆中的概念和性质

1第一讲圆中的概念和性质【知识点一】圆的概念与性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点0叫做圆心，线段OA半径.圆的表示法：习惯上用半径r表示，以点O为圆心，记作“⊙O”，读作“圆O”同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.等圆：半径相等（能够重合）的两个圆，叫做等圆.注意：同圆或者等圆的半径相等.同心圆的圆心相同，半径不同的圆.弦：连接圆上任意两点的线段如图中的EF，CD，AB.直径：经过圆心的弦，如图中的AB弧：圆上任意两点间的部分，简称弧.如图，以AB为端点的弧记为AB读作“弧AB”.优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示，如图中CAB劣弧：小于半圆的弧，如图中AB与CB半圆：任意一条直径把固分成的两条弧，如圆中AC等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，如图中BD=CB例1.（1）下列说法正确的有_________________（填序号）．①直径是弦；②半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④所对圆心角相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）；⑥两个半圆是等弧．(2)下列结论错误的是（）A：圆是轴对称图形B：圆是中心对称图形C：半圆不是弧D：顶点在圆心的角叫做圆心角2练1-1.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A：1B：2C：3D：4练1-2.给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有（）A：1个B：2个C：3个D：4个例2.(1)如图所示，MN为⊙O的弦，∠MON=70，则∠N的度数为（）A：40B：50C：55D：60(2)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB=2DE，∠E=18，则∠C=________，∠AOC=________．练2-1.(1)如图所示，MN为⊙O的弦，∠M=55，则∠MON的度数为（）A：50B：55C：60D：70(2)如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=87，则∠E=________，∠C=________．练2-2.(1)如图所示，MN为⊙O的直径，点P是圆上一点，连接OP，MP，已知∠P=50，则∠PON的度数为（）A：80B：90C：100D：1103(2)如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84∘，AE交于⊙O点B，且AB=OC，则∠A的度数是__________．【知识点二】圆—垂径定理有关计算练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径分析：过点O做OEAB与E，连接OA，由垂径定理：cmAB482121AB，tRAOE中，222AEOEOAcm543AEOEOA2222，⊙O的半径的半径为5cm.总结：过圆心向弦作垂线并连接半径,则半径、弦的一半与该弦的弦心距三条线段满足勾股定理.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言表达：CD是直径且CDAB，AE=BE，AC=CB，AD=BD垂直于弦的直径的几个基本作图：垂径定理的推论：平分弦(此弦非直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：为什么强调这里的弦不是直径？如图，一个圆的任意两条直径总是互相平分，但不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立①直径（过圆心）（CD过圆心，即CD为直径）②垂直径（CDAB）③平分弦（不是直径）（AE=BE）4④平分优弧（AC=CB）⑤平分劣弧（AD=BD）“知二推三”例3.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不正确的是（）A：CE=DEB：AE=OEC：弧BC=弧BDD：ΔOCE≌ΔODE练3-1.在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（）A：AE=BEB：AC=BCC：EOECD：BDAD练3-2.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（）A：CE=DEB：弧BC等于弧BDC：∠BAC=∠BADD：OE=BE例4.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若⊙O的半径为5,AB=8,则CD的长是（）A：2B：3C：4D：5练4-1.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于D点,且AB=6cm,OD=4cm,则DC的长为（）A：5cmB：2.5cmC：2cmD：1cm练4-2.如图，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（）A：5B：65C：7D：8例5.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A：8B：10C：16D：20练5-1.如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8,CD=3,则⊙O的半径为（）A：4B：5C：25D：19练5-2.如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,若AB=6,则⊙O的半径为（）A：2B：22C：22D：26附加题：1.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（）A：1cmB：7cmC：3cm或4cmD：1cm或7cm2设点P是半径为5的⊙O内一定点，且OP=4，则过点P的所有弦中，弦长可能取到的所有整数值之和为_________．6第二讲圆中的角【知识点一】圆—圆周角定理及推论圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角如图，AOB是圆心角弧度：把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1，1的圆心角对着1的弧，即圆心角的度数等于弧度数.圆周角的概念：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角如图，BAC是圆周角.圆周角定义的两个特征：①顶点在圆上②两边都与圆相交练习：如图，APB是圆周角的是（）圆周角定理：圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的度数的一半.几何语言：AOB是弧AB所对的圆心角，ACB是弧AB所对的圆周角ACB=AOB21练习：求出下列图形的1圆周角定理的证明：①圆心O在BAC的一条边上（证明提示：外角定理）②圆心O在BAC的内部（证明提示：外角定理）③圆心O在BAC的外部（证明提示：外角定理）7圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等如图①，1=3,2=4逆命题：在同圆或等圆中，相同圆周角所对的弧相等如图②在⊙O中，若BAC=DFE，则有=DEBC推论2:半圆(或直径)所对的圆周是直角，90圆周角所对的弦是直径，如图③在⊙O中，若AB为直径，则ACB=90.巧记：直径对直角，直角对直径.练习：如图，已知AC为⊙O的直径，BAC=50，则D=.分析：连接BC注意：构造直径所对的圆周角得直角.例1.（1）如图，A、B均为⊙O上一点，若∠AOB=80，则∠ACB=（）A：80B：70C：60D：40（2）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B=22，则∠A=________．(3)如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD=50，则∠DAB=_______．(4)如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(8,0)，与y轴交于点C(0,6)，则⊙A的半径为_________．练1-1.(1)如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60，则∠ACO=_________．8(2)如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠OAB=25，则∠B=_________．(3)如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠C=40，则∠ABD=_______．练1-2.(1)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OCB=60，则∠BAC=_________．（2）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，已知DE为40，则∠A=_________．例2.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠B=60，则∠ADC=________．(2)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3:4:6，则∠D的度数为______．练2-1.(1)如图，已知∠AOC=150，则∠ABC=（）A：105B：120C：135D：150(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOB=60，则∠ACB=________．练2-2.(1)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2:3:7，则∠D的度数为________．(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC=120，则∠ABC=________．例3.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）.9（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长.练3-1.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧AD上（不与A、D点重合）．若⊙O的半径为1，则2222PDPCPBPA的值为（）A：2B：4C：6D：8练3-2.如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（）A：32B：4C：34D：6【知识点二】弧弦角距的关系数学来源于生活想一想，茶杯的盖子为什么要做成圆的呢？答案：由圆的旋转对称性，旋转盖子任意角度后还和原来一样.思考：进一步，在同圆中，两个相等的圆心角所对的两段弧、弦有什么关系？如图，由圆的旋转对称性，若两个圆心角相等，则这两个角所对的两段弧相等，两条弦也相等.过点0分别作AB、CD的垂线段，则称这两条垂线段的长度为弦AB、CD对应的弦心距.易知弦心距也相等.事实上，同圆或等圆中，这五者：①圆心角相等②弧相等③弦相等④圆周角相等⑤弦心距相等知一得四思考：想一想，圆的内接四边形若是梯形，则一定是等腰梯形么？为什么？10例4.（1）如图，在⊙O中，ACAB，∠A=40，则∠B的度数为___________．(2)已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，且AB=BC=CD，DE=EF=FA．求证：∠BAF=∠CDE=120．练4-1.如图，在⊙O中，ACAB，∠AOB=40，则∠ADC的度数是（）A：40B：30C：20D：15练4-2.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，DC=AB，则AD与BC的大小关系为_______．附加题：1.如图所示,BC为⊙O的直径,弦AD⊥BC于E,∠C=60.求证:△ABD为等边三角形.2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_________．11