实变函数与泛函分析总复习题

第一章复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。（×）2、小个子全体构成集合。（×）3、所有集合都可用列举法表示。（×）4、所有集合都可用描述法表示。（√）5、对任意集合A，总有A。（√）6、()ABBA。（×）7、()()ABBABBAA。（√）8、若BA，则()ABBA。（√）9、cAA，cAAX，其中X表示全集。（×）10、ABBA。（×）11、()cccABAB，()cccABAB。（×）12、()()()ABCACBC，()()()ABCACBC。（√）13、若AB，BC，则AC。（√）14、若AB，则AB，反之亦然。（√）15、若12AAA，12BBB，且11AB，22AB，则AB。（×）16、若AB，则AB。（√）17、若AB，且AB，则AB。（×）18、可数集的交集必为可数集。（×）19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√）20、因整数集Z有理数集Q，所以Q为不可数集。（×）21、()ccAA。（√）第二章复习题一、判断题1、设P，nQR，则(,)0PQPQ。（×）2、设P，nQR，则(,)0PQ。（×）3、设123,,nPPPR，则121323(,)(,)(,)PPPPPP。（×）4、设点P为点集E的内点，则PE。（√）5、设点P为点集E的外点，则PE。（√）6、设点P为点集E的边界点，则PE。（×）7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。（×）9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。（√）10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。（√）11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。（√）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）13、开集中可以含有边界点和孤立点。（×）14、E是开集EE的内部（开核）。（√）15、任意多个开集的并集仍为开集。（√）16、任意多个开集的交集仍为开集。（×）17、有限个开集的交集仍为开集。（√）18、闭集中的每个点都是聚点。（×）19、E和E都是闭集。（√）20、E是闭集EE。（√）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（×）23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√）24、E是开集cE是闭集。（√）25、E是完全集（完备集）EEE是无孤立点的闭集。（√）二、填空题1、设1nRR，1E是[0,1]上的全部有理点，则1E[0,1]；1E的内部空集；1E[0,1]。2、设2nRR，1E[0,1]，则1E[0,1]；1E的内部空集；1E[0,1]。3、设2nRR，1E22{(,)1}xyxy，则1E22{(,)1}xyxy；1E的内部1E；1E22{(,)1}xyxy。4、设P是康托（三分）集，则P为闭集；P为完全集；P没有内点；Pc；mP0。5、设(,)ab为1R上的开集G的构成区间，则(,)ab满足(,)abG，且aG，bG。6、设(1,2)(3,4)E，写出E的所有的构成区间(1,2),(3,4)。7、设(1,3)(2,6)E，写出E的所有的构成区间(1,6)。8、设E为1R上的闭集，0x为E的孤立点，则0x必为E的两个邻接区间的公共端点。9、设E为1R上的闭集，则E的邻接区间必为cE的构成区间。第三章复习题一、判断题1、对任意nER，*mE都存在。（√）2、对任意nER，mE都存在。（×）3、设nER，则*mE可能小于零。（×）4、设AB，则**mAmB。（√）5、设AB，则**mAmB。（×）6、**11()nnnnmSmS。（×）7、**11()nnnnmSmS。（√）8、设E为nR中的可数集，则*0mE。（√）9、设Q为有理数集，则*0mQ。（√）10、设I为nR中的区间，则*mImII。（√）11、设I为nR中的无穷区间，则*mI。（√）12、设E为nR中的有界集，则*mE。（√）13、设E为nR中的无界集，则*mE。（×）14、E是可测集cE是可测集。（√）15、设{nS}是可测集列，则1nnS，1nnS都是可测集。（√）16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（√）17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（√）18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（√）19、若E，则*0mE。（×）20、若E是无限集，且*0mE，则E是可数集。（×）21、若mE，则E必为无界集。（√）22、在nR中必存在测度为零的无界集。（√）23、若A，B都是可测集，AB且mAmB，则()0mBA。（×）24、和nR都是可测集，且0m，nmR。（√）25、设12,EE为可测集，则12()mEE12mEmE。（×）26、设12,EE为可测集，且12EE，则12()mEE12mEmE。（×）二、填空题1、若E是可数集，则*mE0；E为可测集；mE0。2、若12,,,nSSS为可测集，则1niimS小于或等于1niimS；若12,,,nSSS为两两不相交的可测集，则1niimS等于1niimS。3、设12,EE为可测集，则122()mEEmE大于或等于1mE；若还有2mE，则12()mEE大于或等于12mEmE。4、设12,EE为可测集，且12EE，2mE，则12()mEE等于12mEmE。5、设0x为E的内点，则*mE大于0。6、设P为康托三分集，则P为可测集，且mP0。7、m0，nmR+∞。8、叙述可测集与G型集的关系可测集必可表示成一个G型集与零测集的差集。9、叙述可测集与F型集的关系可测集必可表示成一个F型集与零测集的并集。第四章复习题一、判断题1、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，如果对任意实数a，都有[()]Exfxa为可测集，则()fx为E上的可测函数。（√）2、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，如果对某个实数a，有[()]Exfxa不是可测集，则()fx不是E上的可测函数。（√）3、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对某个实数a，[()]Exfxa为可测集。（×）4、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a，[()]Exfxa为可测集。（×）5、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a，[()]Exfxa为可测集。（√）6、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a和b（ab），[()]Exafxb为可测集。（×）7、设E是零测集，()fx是E上的实函数，则()fx为E上的可测函数。（√）8、若可测集E上的可测函数列{()nfx}在E上几乎处处收敛于可测函数()fx，则{()nfx}在E上“基本上”一致收敛于()fx。（×）9、设()fx为可测集E上几乎处处有限的可测函数，则()fx在E上“基本上”连续。（√）10、设E为可测集，若E上的可测函数列()()nfxfx（xE），则{()nfx}的任何子列都在E上几乎处处收敛于可测函数()fx。（×）11、设E为可测集，若E上的可测函数列()()nfxfx..ae于E，则()()nfxfx（xE）。（×）二、填空题1、[]Efa等于11[]nEfan，[]Efa等于11[]nEfan。2、[]Eafb包含于[]Efa，[]Eafb包含于[]Efb；[]Eafb等于[][]EfaEfb，[]Eafb等于[][]EfaEfb。3、设1nnEE，则[]Efa等于1[]nnEfa。4、设1nnEE，则[]Efa等于1[]nnEfa。5、由于区间I上的单调函数()fx的不连续点所成的集为至多可数集，则()fx为I上的几乎处处连续函数，从而()fx为I上的可测函数。6、叙述可测函数的四则运算性可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测。7、叙述可测函数与简单函数的关系简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限。8、叙述可测函数与连续函数的关系连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。9、叙述叶果洛夫定理设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。10、叙述鲁津定理设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数。11、若()()nfxfx，()()nfxgx（xE），则()fx等于()gx几乎处处于E。第五章复习题复习题（一）一、判断题1、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，则()dEfxx一定存在。（√）2、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，则()fx在E上勒贝格可积。（×）3、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，且0()dEfxx，则()fx在E上勒贝格可积。（√）4、设()fx是可测集nER上的非负可测函数，则()dEfxx一定存在。（√）5、设()fx是可测集nER上的非负可测函数，则()fx在E上勒贝格可积。（×）6、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，且0()dEfxx，则()fx在E上勒贝格可积。（√）7、设()fx是可测集nER上的可测函数，则()dEfxx一定存在。（×）8、设()fx是可测集nER上的可测函数，且()()fxLE，()()fxLE至少有一个成立，则()dEfxx一定存在。（√）9、设()fx是可测集nER上的可测函数，且()()fxLE，()()fxLE至少有一个成立，则()fx在E上勒贝格可积。（×）10、设()fx是可测集nER上的可测函数，若()()fxLE且()()fxLE，则()fx在E上勒贝格可积。（√）11、设()fx是可测集nER上的可测函数，若()()fxLE，则()dEfxx。（√）12、设()fx是可测集nER上的可测函数，若()()fxgx且()()gxLE，则()()fxLE。（√）13、若E为零测集，()fx为E上的任何实函数，则()()fxLE。（√）14、若()()fxLE，则[]0mEf。（√）15、若()()fxLE，则()()fxLE。（√）16、若()()fxLE，则()()fxLE。（√）17、若()()fxLE，1E为E的可测子集，则1()()fxLE。（√）18、()fx在E上勒贝格积分值存在()()fxLE。（×）19、若()()fxLE，且()0fx，()d0Efxx，则()0fx..ae于E。（√）20、若()fx在[,]ab上R可积，则若()fx在[,]ab上L可积，且[,]()()d()()dbabaLfxxRfxx。（√）21、若()()fxLE，()()gxLE，且()()fxgx..ae于E，则()d()dEEfxxgxx。（√）22、若()()fxLE，()d0Efxx，则()0fx..ae于E。（×）23、若()d()dEEfxxgxx，则()()fxgx..ae于E。（×）24、若()dEfxx与()dEgxx存在，且()()fxgx，则()d()dEEfxxgxx。（√）25、若()dEfxx存在，nE是E的可测子集，且lim0nnmE，则lim()d0nEnfxx。（×）26