高考数学圆锥曲线小题解题技巧

圆锥曲线高考小题解析一、考点分析1.点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2.直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3.掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4.掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5.通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6.动直线过定点问题和动点过定直线问题；7.定值问题；8.最值问题。二、真题解析1.直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1yx与圆22230xyy交于,AB两点，则||AB=___________解析：2222230(1)4xyyxy，圆心坐标为(0,1)，半径2r圆心到直线1yx的距离2d，由勾股定理得22||222ABrd2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4Cyx的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于,AB两点，||8AB（1）求l的方程；（2）求过点,AB且与C的准线相切的圆的方程。解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求根据焦点弦长公式可知22||8sinpAB，则2sin2，tan1则l的直线方程为1yx（2）由（1）知AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则00220005(1)(1)162yxyxx解得00003112-6xxyy或因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1xyxy或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,AB两点，取AB的中点M，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,CDN，因为1()2MNACBD，,ACAFBDBF，所以11()22MNAFBFAB，所以AB为直径的圆与准线相切。3.【2018北京理10】在极坐标中，直线cossin(0)aa与圆2cos相切，则a=__________.解析：cossin(0)aaxya222cos(1)1xy直线与圆相切时|1|12adr，解得12a4.【2018天津理12】已知圆2220xyx的圆心为C，直线212232xtyt（t为参数）与该圆相交于,AB两点，则ABC的面积为___________.解析：222220(1)1xyxxy2122232xtxyyt圆心(1,0)到直线20xy的距离为22d，所以22||22ABrd所以11||22ABCSABd5.【2018天津文12】在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为__.解析：(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为10xy，(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为1x，联立101xyx解得圆心坐标为(1,0)，半径1r所以圆的方程为22(1)1xy6.【2018江苏选修C】在极坐标中，直线l的方程为sin()26，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长。解析：sin()23406xy224cos(2)4xy，设直线与圆相交于,AB两点圆心(2,0)到直线340xy的距离212d22||223ABrd2.椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题7.【2018全国1文4】已知椭圆222:14xyCa的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为___________.解析：2,2cb所以2228abc，22222cea8.【2018全国2理5文6】双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为___.解析：2223cea，则令223,1ca则22b，所以渐近线方程为2byxxa9.【2018全国3文10】已知双曲线2222:1xyCab的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为_________.解析：2cea，渐近线0bxay所以点(4,0)到渐近线的距离为2244bbdcab令2,1ca，则2222441,22bbbcadcab因为求的是比值，因此没必要求出,bc具体的数字，因为无论,bc是多少，其比值都是相同的。10.【2018北京文10】已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线24yax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解析：:1lx，代入到24yax得2ya，所以44a，1a（a只能为正数）11.【2018北京文12】若双曲线2221(0)4xyaa的离心率为52，则a=_______.解析：22222222452,4cababeaaa，解得4a12.【2018天津理7】已知双曲线22221xyab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,AB两点，设,AB到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12,dd，且126dd，则双曲线的方程为_______________.解析：如上图，12dd为右焦点F到渐近线byxa的距离的2倍，故122226bcddab，又因为2cea，解得223,9ab所以双曲线的方程为22139xy13.【2018江苏8】在平面直角坐标系xoy中，若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(,0)Fc到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是_________.解析：双曲线的渐近线为0bxay，2232bcdbcab所以222222cceacb14.【2018浙江2】双曲线2213xy的焦点坐标是_________.解析：222223,1,4abcab，且焦点在x轴上，所以焦点坐标为(2,0),(2,0)15.【2018上海1】设P为椭圆22153xy上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为__________.解析：25,5aa，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为225a16.【2018上海6】双曲线2214xy的渐近线方程为__________.解析：224,1ab，所以渐近线方程为12byxxa17.【2018全国1理8】设抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(2,0)且斜率为23的直线与C交于,MN两点，则FMFN=__________.解析：(1,0)F，过点(2,0)且斜率为23的直线方程为2433yx，设1122(,),N(,)Mxyxy，联立22121245405,42433yxxxxxxxyx所以121212()148FMFNxxxxxx18.【2018江苏12】在平面直角坐标系xoy中，A为直线:2lyx上在第一象限内的点，(5,0)B以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。若0ABCD，则点A的横坐标为__________.解析：因为ADBD，所以||BD为点B到直线2yx的距离，所以10255BD，因为ABD为等腰直角三角形，所以2210ABBD设(,2)Amm，所以22(5)(2)210mm，且0m解得3m3.圆锥曲线的离心率问题19.【2018全国2理12】已知12,FF是椭圆2222:1xyCab的左右焦点，A是C的左顶点，点P在过点A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为________.解析：如上图，212222,60,3PFFFcPFQFQcPQc所以(2,3)Pcc，因为(,0)Aa所以331264APcKeca20.【2018全国2文11】已知12,FF是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，则C的离心率是________.解析：因为12||2FFc,12PFPF且2160PFF，则21||,||3PFcPFc所以12||||(13)2PFPFca，解得31cea21.【2018全国3理11】设12,FF是双曲线2222:1xyCab的左右焦点，O是坐标原点，过1F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1||6||PFOP，则双曲线的离心率为_______.解析：由题意知：2:()aPFyxcb联立()ayxcbbyxa，解得2axcabyc，即2(,)aabPcc2222221||6||()()6[()()]aabaabPFOPccccc解得3e22.【2018北京理14】已知椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为___________;双曲线的N的离心率为____.解析：如上图，点P在椭圆上，也在以12FF为直径的圆上，所以12211290,30,3FPFPFFPFcPFc，所以12(13)2PFPFca，解得31e在上图中，260QOF，所以32bea4.最值和范围问题23.【2018全国3理6文8】直线20xy分别于x轴，y轴交于,AB两点，点P在圆22(2)2xy上，则ABP面积的取值范围是___________.解析：(2,0),(0,2),(22cos,2sin)ABP，(2,2),(42cos,2sin)ABAP此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式24.【2018北京理7】在平面直角坐标系中，记d为点(cos,sin)P到直线20xmy的距离，当,m变化时，d的最大值为__________.解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点P在单位圆上，则d最大时等于圆心(0,0)到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑的变化对最值的影响。(cos,sin)P是圆221xy上的点，所以22131dm25.【2018浙江17】点(0,1)P，椭圆22(1)4xymm上两点,AB满足2APPB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大。分析：若设B点横坐标为0x，则题目转化为当m为何值时，0x最大因此可将0x和m放在同一个等式中且将0x单独分离到一边，含有m的式子放到另一边，此时含有0x的部分类似于关于m函数的值域，因此题目的关键是找到一个包含m和0x的等式，,AB两点的坐标通过共线产生关联，且,AB均在椭圆上，因此将,AB两点坐标代入椭圆方程，消去y即可得到关于m和0x的等式。解析：设00(,)Bxy，因为2APPB，则00(2,32)Axy联立220022000220044-(32)34(32)4xymxyymxym消去解得034my所以2203()44xmm，化简得220(5)164mx所以当5m时，0x取得最大值。26.【2018浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线2:4Cyx上存在不同的两点,AB满足,PAPB的中点均在C上。（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆221(0)4yxx上的动点，求PAB面积的取值范围。解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44PxyAyyByyAP中点满足：22