圆锥曲线中点弦典型例题及解析

第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[例2]已知双曲线的方程为x2－y22＝1.试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[分析]易判断出点B(1,1)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]解法一：设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－y22＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)0.解得k32，且x1＋x2＝2k(k－1)k2－2.∵B(1,1)是弦的中点，∴k(k－1)k2－2＝1，∴k＝232.故不存在被点B(1,1)所平分的弦．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[点评]由本题可以看到：如果点B在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在．如果点B在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在．因此，点B在内部无需检验，点B在外部必须检验．关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学解法二：设存在被点B平分的弦MN，设M(x1，y1)、N(x2，y2)．则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且x21－y212＝1，①x22－y222＝1.②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴kMN＝y1－y2x1－x2＝2，故直线MN：y－1＝2(x－1)．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学由y－1＝2(x－1)，x2－y22＝1，消去y得，2x2－4x＋3＝0，Δ＝－80.这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在．的值求，且轴的交点为与）若直线（的取值范围；的离心率）求双曲线（相交于两个不同的点直线与设双曲线例aPBPAPyleCBAyxlayaxC12521,1:01:.2222yxOAPByxOAPB226111200)1(8401022)1(222422222eaeaaaaaaaxaxa且且的取值范围；的离心率）求双曲线（相交于两个不同的点直线与设双曲线例eCBAyxlayaxC1,1:01:.2222的值求，且轴的交点为与）若直线（aPBPAPyl1252yxOAPB)1,(125)1,(125)1,0(),,(),,(22112211yxyxPBPAPyxByxA1317,,12,12125212221222121axxaaxxaaxxxx得到消去？.21,31,的取值范围求离心率，且变题：若ePBPA)1,(125)1,(125)1,0(),,(),,(22112211yxyxPBPAPyxByxA222122212112,12125aaxxaaxxxx]813,914[595812)1(12)1(122222222222222eeaaaxaaxaax的范围从而得到的范围得由得消去