圆锥曲线中定值问题解题思路

圆锥曲线中定值问题解题思路老师姓名：目录/DIRECTORY123定值问题解题思路解决定值问题的几种方法例题解析（1）定值问题解题思路定值问题肯定含有参数，若要证明一个式子是定值，则意味着参数是不影响结果的，也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉，因此解决定值问题的关键是设参数：（1）在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时，注意横坐标要满足圆锥曲线方程）（2）可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式），（3）也可能是斜率（这个是最常用的，但是既然设斜率了，就要考虑斜率是否存在的情况）常用的参数就是以上三种，但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好。（1）定值问题解题思路因此定值问题的解题思路是：（1）设参数；（2）用参数来表示要求定值的式子；（3）消参数。一个常用的结论：椭圆和双曲线中斜率乘积为定值，即：过原点的直线交椭圆或双曲线于两点,AB，则在椭圆或双曲线上任取一点P（异于,AB）则直线,PAPB的斜率乘积为定值。22221xyab22221xyab22PAPBbkka22PAPBbkka（2）解决定值问题的方法方法一：把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，然后再证明结论与特定状态无关（其实就是找特殊量，常用在小题里面）。例1：过点(,0)Mp任作直线交抛物线22(0)ypxp于,PQ两点，则2211||||MPMQ的值为_____________.解析：题目过(,0)Mp的直线不固定，不妨令这条直线与x轴垂直，此时2PMMQp222111||||MPMQp例2：在椭圆22221xyab上两点,AB与中心O的连线互相垂直，则2211||||OAOB的值为__________.解析：题目中,AB为任意点，故不妨设,AB分别为长轴的端点和短轴的端点，此时,OAaOBb，22221111||||OAOBab（2）解决定值问题的方法方法二：把相关几何量用圆锥曲线中的参变量表示出来，再证明结论与参数无关。（常用在大题证明里面，其实就是设参数，常见的参数在一开始就提到），依据所设参数的不同，题型又分为以下几类：题型1：和线段的长度有关，例如线段的加减乘除。例3：椭圆方程222133xy，过原点的直线l与椭圆C交于,AB两点，椭圆C上一点满足||||MAMB，求证222112||||||OAOBOM为定值。解析：由于直线过原点，因此我们只需要设斜率即可，,AB过原点，则OAOB，我们从题目中知道需要求出,OAOM的值，因此需要用到弦长公式。因为直线过原点，所以可以考虑设为含有角度的点，这样就不需要考虑斜率的问题了，但是点M用含有角度的点表示出来相当麻烦，因此不考虑这种方法。另外两条直线垂直，斜率互为倒数，因此需要考虑斜率不存在和斜率为零的两种特殊形式，关于这两种特殊形式我们不给出了，同学们可以自行计算，下面只给出一般情况：（2）解决定值问题的方法设直线l的方程为ykx，则直线OM的方程为11221,(,),(,)yxAxyBxyk联立22222112233,y21212133ykxkxxykk222221123(1)||||12kOAOBxyk用1k替换k，得2222213[1()]3(1)||1212()kkOMkk所以2222222223(1)3(1)3(1)||||||212122kkkOAOBOMkkk为定值（2）解决定值问题的方法例4：已知椭圆方程为221,(2,0),(0,1)4xyAB,设点P是椭圆上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证||||ANBM为定值。解析：设椭圆上一点00(,)Pxy，则220014xy直线00:(2)2yPAyxx，令0x，得0022Myyx所以002|||1|2yBMx直线001:1yPByxx，令0y，得001Nxxy所以00|||2|1xANy000000000022222|||||2||1|||||1212xyxyxyANBMyxyx22000000000044484||22xyxyxyxyxy将220014xy代入上式得||||4ANBM，故||||ANBM为定值。（2）解决定值问题的方法题型2：和面积有关系的定值问题，例如三角形，四边形或者面积之间的运算为定值。注意求三角形面积的方法有三种：①常规的底乘高除2；②解三角形中的面积公式或者面积的向量形式；③在四边形中注意给出的四边形若对角线互相垂直则可以利用两条对角线的乘积除2得到面积。（2）解决定值问题的方法例5：椭圆方程为221,(2,0),(0,1)4xyAB，设P是第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值。解析：四边形ABNM的对角线互相垂直，则用对角线长度来求面积即可，由于,PAPB之间的斜率不存在联系，因此所设的参数是点P的坐标，用点P的坐标表示出BM和AN的长度，最后消去坐标参数即可，过程如下：（2）解决定值问题的方法设0000(,)(0,0)Pxyxy，则220044xy直线PA的方程为00(2)2yyxx，令0x，则002(0,)2yMx002||12yBMx直线001:1yPByxx，令0y，得00(,0)1xNy00||21xANy所以四边形ABNM的面积为0000211(2)(1)2212xySANBMyx结合220044xy，可求得2S为定值。（2）解决定值问题的方法题型3：和向量有关系或者跟向量的系数有关的定值注意若跟向量的系数有关系，我们一般是根据系数的形式来考虑如何设参数，如果系数均为二次，因此考虑设点然后代入椭圆，如果是一次，则只需要分别用求出参数所代表的值最后消去即可。（2）解决定值问题的方法例6：已知抛物线24xy的焦点为F，,AB是抛物线上的两个动点，且(0)AFFB，过点,AB分别作抛物线的切线，设交点为M，证明FMAB为定值。解析：由已知条件得(0,1)F，设1122(,),(,)AxyBxy由(0)AFFB得122(,1)(,1)xyxy所以12121(1)xxyy把12xx两边平方并把22112211,44yxyx代入得212yy联立12122121(1)1,yyyyyy且有2122244xxxy抛物线方程为214yx，求导得'12yx（2）解决定值问题的方法所以过抛物线上,AB两点的切线分别是11122211(),()22yxxxyyxxxy化简得：2211221111,2424yxxxyxxx解出两条切线的交点M的坐标为121212(,)(,1)242xxxxxxM所以122121(,2)(,)2xxFMABxxyy22222121111()2()2440xxxx所以FMAB为定值，其值为0.谢谢大家！