圆锥曲线的切线及切点弦方程

圆锥曲线的切线及切点弦方程近几年，圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题，或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。点在椭圆上，直线与直线垂直，为坐标原点，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.证明:点是椭圆与直线的唯一交点；00(,)Pxy22221(0)xyabab2l00122:1xxyylabP2l1l00cos,sin,(0,)2xaybopO09年安徽高考试题200xxyyr。00221xxyyab复习：22200(,)xyrMxy过圆上一点的切线方程:1：220022(,)1xyPxyab设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：2：3：220022(,)1xyPxyab设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xxyyab4：00(,)2Pxypx2设为抛物线y上的点，则过该点的切线方程为：00()yypxx圆锥曲线切线的几个性质性质1过椭圆（双曲线，抛物线）的准线与其长（实）轴所在直线的交点作椭圆（双曲线，抛物线）的两条切线，则切点弦长等于该椭圆（双曲线，抛物线）的通径．YXBAF2F1A2A1O1PFAB性质2过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F1的直线交椭圆（双曲线，抛物线）于A，B两点，过A，B两点作椭圆（双曲线，抛物线）的切线交于点P，则P点的轨迹是焦点F1的对应的准线，并且．XYPBF2F1OA例题1：如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.2:xyC02:yxl解：设切点A、B坐标分别为2201110(,)(,)(()xxxxxx和∴切线AP的方程为：;02200xyxx;02211xyxx切线BP的方程为：解得P点的坐标为：1010,2xxyxxxPPPPGxxxxx310,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以△APB的重心G的坐标为：由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即所以243GGpxyy200xxyyr。00221xxyyab00221xxyyab00()yypxx圆锥曲线的切点弦方程22200(,)Pxyxyr设为圆外一点，则切点弦的方程为：◆220022(,)1xyPxyab设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A，B则弦AB的方程为：◆220022(,)1xyPxyab过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：◆00(,)2Pxypx2设为抛物线y开口外一点，则切点弦的方程为：◆例题2：22221(,0)xyPmabABAB对于圆锥曲线，过点，作两条切线，切点为，，求证直线恒过定点1122(,(,)AxyBxy证：设），111221xxyyAlab则过点的切线方程：YXHBAF2F1OP222221xxyyBlab则过点的切线方程：121222P11mxmxllaa因为在直线和直线上，所以和22(,0)aaABxHmm所以直线的方程为，即恒过定点例题3：22x21,4312A,BABOMNyPxy已知椭圆是在直线上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？P00解：设点坐标为P（x,y）,所以切点弦所在直线方程为：0011(,0),N(0,)x2yM所以xPABMNyO00OMN1S4xy021.yy0xxxPABMNyO004312xy又0043xy00000033,4322xyxyxy当且仅当，即，OMN13SAB41122xy此时，直线方程为M1,MA,B42M3ABQxQ22已知：x+(y-2)是轴上的动点，QA,QB分别切于两点。（1）：如果AB，求直线的方程；（2）：求动弦的中点的轨迹方程。421(t0)AB,33解：设Q，，的中点为N,ABMN例题4：MQABN2Q3t49t=5由射影定理M，Q50直线M的方程为2x+5y-2(2)(t0)ABtx-2(y-2)=1设Q，，则直线的方程为Q1,2yx直线M的方程为t644N222t2t交点的坐标为（,）,tt464xyN222tt2tt点的参数方程为27302Nyy2点的轨迹方程为xMQABN思考题：2lyx+3Py2A,B.PABPx已知是直线：上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为求面积的最小值。lPBAxy