分块矩阵及其应用

1分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广.一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛.本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩OnBlockMatrixesanditsApplicationsXuJian,SchoolofMathematicsandComputerScienceAbstractInthehigheralgebra,blockmatrixisageneralizationofmatrixcontent.Ingeneral,matrixelementsarenumbers.However,theblockmatrixisalargematrixwhichisdividedintosomesmallrectangularmatricies,whoseelementsarematrixblocks.Theintroductionoftheblockmatrixmakesitmoreconvenienttousematrix,andmorepowerfultosolverelevantproblems.Sotheapplicationoftheblockmatrixismuchwider.Thispapermainlystudiestheblockmatrixanditsapplicationinthecalculationofdeterminant,suchassolvinglinearequations,calculatinginversematrix,provingtheoremrelatedtotherankofmatrix,etc.KeywordsBlockmatrix;Determinant;Systemofequations;Rankofamatrix21引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化.考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义1.1[]1分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把mn矩阵分割为如下形式的矩阵：mnA1111nmmnAAAA特别地，对于单位矩阵分块：nnE11000000nnEE显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的ijA所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2分块矩阵2.1矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.定义2.1.1[2]n级行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212njjnjaaa的代数和，这一定义又可写成:111212122212nnnnnnaaaaaaaaa121212121nnnjjjjjnjjjjaaa.定义2.1.2[]2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.3所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.定义2.1.3[]2n级方阵称为可逆的，如果有n级方阵B，使得ABBAE（这里E是n级单位矩阵），那么B就称为A的逆矩阵，记为1A.定义2.1.4[]3对分块矩阵施行下列三种初等变换：(1)互换分块矩阵的某两行(列)；(2)用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3)用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上，分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.定义2.1.5[]3对mn阶单位矩阵作22分块，即mnI=mnIOOI，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵.分块矩阵具有以下形式：(1)分块初等对换阵nmIOOI；(2)分块初等倍乘阵0nPOI，0mIOQ；(3)分块初等倍加阵1mnIROI，mnIOSI；其中P,Q分别是m阶和n阶可逆方阵，且1mnRR，nmSR为非零阵.2.2矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义2.2.1[]4矩阵加法：设ijsnAa，ijsnBb是两个同型矩阵，则矩阵ijsnCc=ijijsnab称为A和B的和，记为CAB.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为snO，可简单记为O,对于矩阵A、B，有:(1)AOA(2)()0AA(3)()ABAB(4)()()ABCABC4(5)ABBA定义2.2.2[]4矩阵乘法：设iksnAa，kjnmBb是两个不同型矩阵，那么矩阵ijsmCABc，称为矩阵A与B的乘积，其中：11221nijijijinnjikkjkcabababab在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1)()ABCABAC(2)()BCABACA(3)()()ABDABD定义2.2.3[]4矩阵数乘：111212122212nnsssnkakakakakakakakaka称为矩阵()ijsnAa与数k的数量乘积，记为kA，有以下性质：(1)1AA；(2)()()klAklA;(3)()kABkAkB;(4)()klAkAlA;(5)kABkAkB.2.3分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设A、B是mn矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：加法：11111111ttssststABABABABAB.乘法：CAB,其中：11221nijijijinnjikkjkCABABABAB.5数乘：1111tsstkAkAkAkAkA.总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义2.3.1[]2由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1)互换矩阵E的i行与j行的位置;(2)用数域P中的非零数c乘E的i行;(3)把矩阵E的j行的k倍加到i行.定义2.3.2[]5将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1)对调两块同阶的块所在的行或列;(2)某一块乘以同阶的满秩方阵;(3)某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵ABCD进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对应分块矩阵：mnOEEOABCD=CDABnPOOEABCD=PAPBCDmnEOPEABCD=ABCPADPB2.4矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[]6：(1)列向量分法，即1,,nA，其中j为A的列向量.6(2)行向量分法，即1mA，其中j为A的行向量.(3)分两块，即12,AAA,其中1A,2A分别为A的各若干列作成.或12BAB，其中1B，2B分别为A的若干行作成.(4)分四块，即1234CCACC.我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0的n阶方阵.（2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0的n阶方阵.（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0的n阶方阵.（4）对称矩阵：满足矩阵A的转置和A相等.（5）若尔丹（Jordan）块：形如00010(,)000001Jt（6）若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵,其一般形状形如：12nAAA在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3分块矩阵及其应用3.1行列式计算的应用定理3.1.1[]2拉普拉斯（Laplace）定理:设在行列式D中任意取定了k个行.7由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块.然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用.这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例3.1.1[]7：（爪形行列式）计算行列式：012111100100100naaaa,其中0(1,2,,)iain.解:设ADQCB,其中0()Aa1naBa，(1,1,,1)TC，(1,1,,1)D.因为0(1,2,,)iain，所以B是可逆矩阵.又易知:1011niiADBCaa.根据分块矩阵乘法：1100EADADCAECBBCAD则：1112011nniiADABCADBADBCaaaaaCB故：原行列式=12011nniiaaaaa.例3.1.2[]7：(对角行列式)计算行列式：82nadadHcbcb.解：令aAa，bBb，cCc，dDd为n阶方阵.由于0a,故A为可逆方阵.又易知：1BCAD111bcadbcadbcad故112()()nnnnADHABCADabcadabcdCB.例3.1.3[]8：设A、B、C、D都是n阶矩阵，证明当ACCA时，A可逆时，有ADABCDCB证明：若A可逆，110ADAEADCBCBCADOE,故：11ADABCADABACADABCDCB.注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的adabcdcb，其矩阵块限制条件有所加强.所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述：（1）标准型：911112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb;（2）矩阵型：令ijmnAa，12(,,,)nxxxx，12(,,)mBbbb方程组可以表述为：AxB;（3）列向量型：令112111maaa，122222maaa，，12nnnmnaaa则方程组又可以表述为：1122nnxxxB;（4）行向量型：1122nnxxxB.可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩