高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结

...《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB或||a。3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则||1e。4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。8.三角形法则：ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）9.平行四边形法则：以,ab为邻边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。10.共线定理：//abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab13.数量积与夹角公式：||||cosabab；cos||||abab14.平行与垂直：1221//ababxyxy；121200ababxxyy题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（8）若mamb，则ab。...（9）若mana，则mn。（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。（11）若||||abab，则//ab。（12）若||||abab，则ab。题型2.向量的加减运算1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则||ab。2.化简()()ABMBBOBCOM。3.已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为、。4.已知ACABAD为与的和向量，且,ACaBDb，则AB，AD。5.已知点C在线段AB上，且35ACAB,则ACBC，ABBC。题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()abab（2）2(253)3(232)abcabc2.已知(1,4),(3,8)ab，则132ab。题型4.作图法球向量的和已知向量,ab，如下图，请做出向量132ab和322ab。ab题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。2.在平行四边形ABCD中，已知,ACaBDb，求ABAD和。题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是。2.已知(3,5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是。3.若物体受三个力1(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F,则合力的坐标为。...4.已知(3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。5.已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等，求,xy的值。6.已知(2,3)AB，(,)BCmn，(1,4)CD，则DA。7.已知O是坐标原点，(2,1),(4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,ee是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeee和B.1221326eeee和4C.122133eeee和D.221eee和2.已知(3,4)a，能与a构成基底的是（）A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||2OA，150xOA，求OA的坐标。2.已知O是原点，点A在第一象限，||43OA，60xOA，求OA的坐标。题型9.求数量积1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab，（3）1()2abb，（4）(2)(3)abab。2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（2）ab，（3）(2)aab，（4）(2)(3)abab。题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3ab，12ab，求a与b的夹角。2.已知(3,1),(23,2)ab，求a与b的夹角。...3.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。题型11.求向量的模1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）||ab，（2）|23|ab。2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（5）||ab，（6）1||2ab。3.已知||1||2ab，，|32|3ab，求|3|ab。题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：||aea】1.与(12,5)a平行的单位向量是。2.与1(1,)2m平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a，(3,)bm，当m为何值时，（1）//ab？（2）ab？2.已知(1,2)a，(3,2)b，（1）k为何值时，向量kab与3ab垂直？（2）k为何值时，向量kab与3ab平行？3.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：()abc。题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A，(2,2)B，(3,4)C，求证：,,ABC三点共线。...2.设2(5),28,3()2ABabBCabCDab，求证：ABD、、三点共线。3.已知2,56,72ABabBCabCDab，则一定共线的三点是。4.已知(1,3)A，(8,1)B，若点(21,2)Caa在直线AB上，求a的值。5.已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，(1,2)B，(1,1)C，是否存在常数t，使OAtOBOC成立？题型15.判断多边形的形状1.若3ABe，5CDe，且||||ADBC,则四边形的形状是。2.已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0,2)D，证明四边形ABCD是梯形。3.已知(2,1)A，(6,3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形。4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OAOBOC,求证：ABC是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a，(2,1)b，当k为何值时，向量kab与3ab平行？2.已知(3,5)a，且ab，||2b，求b的坐标。3.已知ab与同向，(1,2)b，则10ab，求a的坐标。3.已知(1,2)a，(3,1)b，(5,4)c，则cab。4.已知(5,10)a，(3,4)b，(5,0)c，请将用向量,ab表示向量c。...5.已知(,3)am，(2,1)b，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。6.已知(6,2)a，(3,)bm，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角？（2）a与b的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为(1,2)A，(3,4)B，(2,1)D，且//ABDC，2ABCD，求点C的坐标。8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为(2,1)A，(1,3)B，(3,4)C，求第四个顶点D的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。10.已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，(,0)Cc，（1）若0ABAC，求c的值；（2）若5c，求sinA的值。【备用】1.已知||3,||4,||5abab，求||ab和向量,ab的夹角。2.已知xab，2yab，且||||1ab，ab，求,xy的夹角的余弦。1.已知(1,3),(2,1)ab，则(32)(25)abab65。4.已知两向量(3,4),(2,1)ab，求当axbab与垂直时的x的值。5.已知两向量(1,3),(2,)ab，ab与的夹角为锐角，求的范围。变式：若(,2),(3,5)ab，ab与的夹角为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1.特例法例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C重合时，可以得到1mn，2mn。...2.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)abc，则c（D）A.1322abB.1322abC.3122abD.3122ab变式：已知(1,2),(1,3),(1,2)abc，请用,ab表示c。解：设cxayb，则(1,2)(1,2)(1,3)xy即：(1,2)(,2)(,3)(,23)xxyyxyxy1223xyxy且，即：1232xyxy且解得：4955xy，，4955cab3.排除法例：已知M是ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（D）A.AMMBBCB.3AMACC.ABBCACD.AMBMCM解：观察前三个选项都不与AB共线，所以选D。单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。