PPT-第14章-单位根与协整-计量经济学及Stata应用

1©陈强，2015年，《计量经济学及Stata应用》，高等教育出版社。第14章单位根与协整14.1非平稳序列如时间序列不平稳，称为“非平稳序列”(non-stationarytimeseries)，包括以下三种情形。(1)确定性趋势(deterministictrend)。考虑以下模型：01ttyt(14.1)其中，t为时间趋势(timetrend)，1t为时间趋势项。2两边取期望：01E()tyt(14.2)E()ty随时间而变，不是平稳序列。对于这种非平稳序列，只要把时间趋势去掉，就变成平稳序列，称为“趋势平稳”(trendstationary)序列。可直接将时间趋势(t)作为解释变量放入回归方程，然后照常使用大样本理论进行统计推断。3(2)结构变动(structuralbreak)考虑如下模型：1122,,tttttxttyxtt若若(14.3)其中，t为给定时间(常数)。如12或12，则存在结构变动。E()ty在tt处存在跳跃，为非平稳序列。对于结构变动，可进行邹检验(Chowtest)。4如发现结构变动，可定义如下虚拟变量：1,0,tttD若其他(14.4)将虚拟变量tD引入回归方程：11ttttttyxDDx(14.5)方程(14.5)与方程(14.3)等价：21，21。所有参数都不随时间而变(不再有结构变动)，可照常进行回归。5(3)随机趋势(stochastictrend)考虑随机游走模型(randomwalk)：1tttyy(14.6)其中，t为白噪声。假设时间开始于0t，则101212012323012310101tttttssyyyyyyyyyyyy(14.7)6如果1增加一单位，所有12,,,,tyyy都将增加一个单位。来自t的任何扰动对ty都有永久效应(permanenteffect)，影响力不随时间而衰减，称t为此模型的“随机趋势”。在方程两边求方差：211Var()VarVar()tttssssyt(14.8)其中，2为扰动项s的方差。当t时，Var()ty(方差发散)，故ty非平稳。7如果包含常数项，则为“带漂移的随机游走”(randomwalkwithdrift)：01tttyy(14.9)其中，00为每时期的平均“漂移”(drift)，因为01E()ttyy。随机游走是AR(1)的特例。对于AR(1)模型，011tttyy，如果11，则为随机游走。在方程(14.9)中，移项可得0tty(14.10)随机游走的差分为平稳序列，称为“差分平稳”(difference8stationary)序列。定义称平稳的时间序列为“零阶单整”(Integratedoforderzero)，记为I(0)。如果时间序列的一阶差分为平稳过程，称为“一阶单整”(Integratedoforderone)，记为I(1)，也称为“单位根过程”(unitrootprocess)。一般地，如果时间序列的d阶差分为平稳过程，称为“d阶单整”(Integratedoforderd)，记为I(d)。9对于I(0)序列，由于它是平稳的，故长期而言有回到其期望值的趋势。这种性质称为“均值回复”(mean-reverting)。非平稳的I(1)序列会“到处乱跑”(wanderwidely)，没有上述性质。比如，随机游走的方差越来越大，趋向无穷。I(0)序列对过去行为只有有限记忆，即发生在过去的扰动项对未来的影响随时间而衰减。I(1)序列则对过去行为有无限长的记忆，即任何过去的冲击都将永久地改变未来的整个序列。例如果tGDP为I(1)，则任何货币政策或财政政策的调整都将对未来GDP产生永久影响。10定义如果时间序列ty的d阶差分为平稳的ARMA(p,q)过程，则称ty为ARIMA(p,d,q)过程。昀常见ARIMA(p,1,q)，经过一次差分得到平稳的ARMA(p,q)。14.2ARMA的平稳性什么情况下，ARMA(p,q)才平稳？MA(q)是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性组合。ARMA(p,q)的平稳性仅取决于AR(p)的部分。首先，考虑AR(1)模型：11011tttyy(14.11)如11，则ty平稳。上式是一阶随机差分方程，其稳定性与确定性差分方程一样：011ttyy(14.12)只要考虑一阶差分方程(14.12)是否有稳定解即可。方程(14.12)的解又取决于相应的齐次差分方程(不含常数项)：11ttyy(14.13)齐次差分方程的通解为1201ttyy(14.14)通解形式为指数函数，故AR(1)的稳定性条件为11。一般地，考虑AR(p)模型：011ttptptyyy(14.15)其稳定性取决于确定性齐次差分方程：11ttptpyyy(14.16)仍假设方程(14.16)的解形式为指数函数，即1tttyzz(14.17)其中，z的取值待定。13将表达式(14.17)代入差分方程(14.16)：(1)()10tttppzzz(14.18)两边同乘tz，可得AR(p)的特征方程(characteristicequation)：1()10ppzzz(14.19)此方程在复数域一定有p个根(含重根)，比如12(,,,)pzzz。齐次差分方程(14.16)有p个形如1tz的解，通解则是这p个解的线性组合：01122111ttttppykkzkzkz(14.20)14其中，01(,,,)pkkk为待定常数，取决于初始条件011,,,pyyy。如要求ty收敛于稳定值，所有1(1,,)tjzjp均应收敛到0。由于jz为复数，这要求特征方程所有解的范数jz(在复平面上jz离原点的距离)都必须大于1。图14.1复平面上的单位圆11-i-i015稳定解：特征方程的所有解须落在复平面上的单位圆之外。如果特征方程的某个根落在单位圆之内，则为爆炸式增长的非平稳过程。如果某个根正好落在单位圆之上，则称为“单位根”(unitroot)，比如随机游走的情形。例对于AR(1)，其特征方程为110z，故11z。因此，111zz。有关AR(p)平稳性的结论是对AR(1)情形的推广。1614.3VAR的平稳性AR(p)的平稳性条件可推广到多维VAR(p)的情形。考虑VAR(p)模型：011ttptptyyy(14.21)其中，t为向量白噪声过程。如果特征方程10pnpzzI(14.22)的所有根都落在复平面的单位圆之外(即1z)，则VAR(p)为平稳过程，其中表示行列式。17此平稳性的等价条件为伴随矩阵(companionmatrix)12pnnnpnp00000II(14.23)的所有特征值都落在单位圆之内。1814.4单位根所带来的问题对于AR(1)模型，一般认为不可能出现自回归系数11的情形；否则任何对经济的扰动都将被无限放大。通常只担心单位根的情形，即11。如果时间序列存在单位根，为非平稳序列，可能带来以下问题。(1)自回归系数的估计量不服从渐近正态分布，t检验失效考虑AR(1)模型：011tttyy(14.24)假设真实值11，为单位根过程。19进行OLS回归，可得1的OLS估计量1ˆ。由于存在单位根(1的真实值为1)，1ˆ不服从渐近正态分布，甚至不是对称分布(即使在大样本中)，而向左偏向于0(分布左边有很长的尾巴)。由于ty不是平稳序列，故中心极限定理不再适用。虽然11ˆplimn(仍为一致估计)，在有限样本下可能存在偏差。由于1ˆ不是渐近正态分布，故t统计量不服从渐近正态，无法进行传统的区间估计与假设检验。建立于平稳性假设之上的大样本理论不再适用。20通过蒙特卡罗法考察1ˆ的大样本分布。考虑不带漂移项的随机游走：1tttyy(14.25)其中，扰动项t为iid，且服从标准正态。假设00y，则11y，212y，……，11tttssy。假设样本容量为1000，首先从标准正态分布随机抽取1000个扰动项的观测值11000,,；由此生成ty的1000个观测值11000,,yy，根据方程(14.24)进行OLS回归，得到自回归系数估计值1ˆ。21重复此过程1,000次，得到1,000个1ˆ，获得1ˆ的大样本分布。在Stata中定义一个叫“randwalk”的程序来产生随机游走，进行一阶自回归，并得到自回归系数1ˆ：.programrandwalk,rclass(定义程序“randwalk”，并以r()形式储存结果)drop_all(删去内存中已有数据)setobs1000(确定样本容量为1000)geneps=rnormal()(产生服从标准正态分布的扰动项t)geny=sum(eps)(假设00y，定义随机游走1ttssy)gent=_n(定义时间变量，第t期即第i个观测值)tssett(将数据设为时间序列，以便使用滞后算子)regyL.y(回归101=+ttyyerror)22returnscalarb1=_b[L.y](记OLS系数1ˆ为b1)end(程序结束)使用命令“simulate”来执行“randwalk”程序1,000遍，得到1ˆ的大样本分布，并画其经验的概率密度图(参见图14.2)。.simulatebeta=r(b1),seed(10101)reps(1000):randwalk.kdensitybeta230204060Density.92.94.96.981r(b1)kernel=epanechnikov,bandwidth=0.0011Kerneldensityestimate图14.2在单位根情况下1ˆ的大样本分布即使样本容量为1000，OLS估计量1ˆ的分布也不对称，向左偏向于0，无法使用渐近正态进行统计推断。24(2)两个相互独立的单位根变量可能出现伪相关或伪回归单位根的另一严重后果是，即使两个单位根变量相互独立，进行相关分析或回归分析，却可能发现二者有显著关系，称为“伪相关”(spuriouscorrelation)或“伪回归”(spuriousregression)。考虑两个单位根过程：11;ttttttyyuxxv(14.26)其中，,ttuv均为iid且相互独立。故ty与tx也相互独立。考虑OLS回归：tttyx(14.27)由于ty与tx相互独立，故真实参数0。25如果样本容量足够大，期待OLS估计值ˆ0，20R。但实际结果并非如此，因为扰动项tttyx非平稳。昀初由GrangerandNewbold(1974)通过蒙特卡罗模拟发现。下面在Stata中模拟此过程。假设00y，00x，则1ttssyu，1ttssxv。假设样本容量为10,000，首先在Stata中生成相互独立的单位根变量ty与tx，然后进行OLS回归。26.drop_all(删去内存中已有数据).setobs10000(确定样本容量为10,000).setseed1234(确定随机数的种子为1234).genu=rnormal()(产生服从标准正态分布的扰动项tu).geny=sum(u)(定义随机游走1ttssyu).setseed12345(确定随机数的种子为12345).ge