高中数学必修五：--等差数列(必考题)最全整理含解析

第二章等差数列（必考题）最全整理含解析第1课时基础巩固一、选择题1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…那么81是它的第几项()A．12B．13C．14D．15[答案]C[解析]an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.2．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是()A．公差为－1的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列[答案]A[解析]∵an＝－n＋5，∴an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴{an}是公差d＝－1的等差数列．3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是()A．92B．47C．46D．45[答案]C[解析]a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3得：n＝46.4．(2013·广东东莞五中高二期中)等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60B．61C．62D．63[答案]B[解析]设公差为d，由题意，得a1＋4d＝33a1＋44d＝153，解得a1＝21d＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.5．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是()A．d875B．d325C．875d325D．875d≤325[答案]D[解析]由题意a101a9≤1，∴125＋9d1125＋8d≤1，∴875d≤325.6．设等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n是()A．48B．49C．50D．51[答案]C[解析]a1＝13，a2＋a5＝2a1＋5d＝23＋5d＝4，∴d＝23，又an＝a1＋(n－1)d＝13＋23(n－1)＝33，∴n＝50.二、填空题7．一个直角三角形三边长a、b、c成等差数列，面积为12，则它的周长为__________．[答案]122[解析]由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，则2b＝a＋c12ab＝12a2＋b2＝c2，解得b＝42，a＝32，c＝52，∴a＋b＋c＝122.8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．[答案]3[解析]设首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.三、解答题9．已知数列{an}是等差数列，前三项分别为a,2a－1,3－a，求它的通项公式．[解析]∵a,2a－1,3－a是数列的前三项，∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)，解得a＝54，∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝14，∴an＝a1＋(n－1)d＝14n＋1，∴通项公式an＝14n＋1.10．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？[解析]设首项为a1，公差为d，由已知得a1＋15－1d＝33a1＋61－1d＝217，解得a1＝－23d＝4，∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，∴153是所给数列的第45项.能力提升一、选择题1．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A．3B．2C．13D．12[答案]A[解析]设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x＝3，故选A．2．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45[答案]B[解析]设公差为d，则a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.3．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则d1d2等于()A．32B．23C．43D．34[答案]C[解析]由题意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，∴d1＝b－a3，d2＝b－a4，∴d1d2＝b－a3·4b－a＝43.4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11B．12C．13D．14[答案]C[解析]设公差为d，由题意，得a1＋2d＝7a1＋d＋6＝a1＋4d，解得a1＝3d＝2.∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.二、填空题5．(2013·广东理，12)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.[答案]20[解析]设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析]设此等差数列为{an}，公差为d，则a1＋a2＋a3＋a4＝3a7＋a8＋a9＝4，∴4a1＋6d＝33a1＋21d＝4，解得a1＝1322d＝766.∴a5＝a1＋4d＝1322＋4×766＝6766.三、解答题7．设{an}是等差数列，若am＝n，an＝m，(m≠n)，求am＋n.[解析]设公差为d，由题意，得a1＋m－1d＝na1＋n－1d＝m，解得a1＝m＋n－1d＝－1，∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝(m＋n－1)－(m＋n－1)＝0.8．已知函数f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．(1)求证：{1xn}是等差数列；(2)当x1＝12时，求x100.[解析](1)证明：xn＝f(xn－1)＝3xn－1xn－1＋3(n≥2，n∈N*)，∴1xn＝xn－1＋33xn－1＝13＋1xn－1.∴1xn－1xn－1＝13(n≥2，n∈N*)．∴数列1xn是等差数列．(2)由(1)知1xn的公差为13.又x1＝12，∴1xn＝1x1＋(n－1)·d＝2＋13(n－1)．∴1x100＝2＋(100－1)×13＝35.∴x100＝135.第二章2.2第2课时基础巩固一、选择题1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝()A．64B．30C．31D．15[答案]D[解析]解法一：∵a6＋a9＝16a4＝1，∴2a1＋13d＝16a1＋3d＝1，∴a1＝－5d＝2，∴a11＝a1＋10d＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35[答案]C[解析]∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a1010B．a2＋a1000C．a3＋a100≤0D．a51＝0[答案]D[解析]由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1B．1C．3D．7[答案]B[解析]∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.5．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为()A．b－anB．a－bn＋1C．b－an＋1D．b－an－1[答案]C[解析]∵a1＝a，an＋2＝b，∴公差d＝an＋2－a1n＋2－1＝b－an＋1.6．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于()A．120B．105C．90D．75[答案]B[解析]∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.二、填空题7．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.[答案]18[分析]利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．[解析]解法1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.解法2：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.8．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.[答案]15[解析]∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋12)(a3＋a15)＝52×6＝15.三、解答题9．已知等差数列{an}的公差d0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．[解析]由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12，∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．又∵d0，∴a3＝－6，a7＝2.∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.10．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．[解析]设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±32代入①得a＝±72，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.能力提升一、选择题1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为()A．0B．37C．100D．－37[答案]C[解析]∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的公差为0，∴数列{an＋bn}的第37项为100.2．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{1an＋1}是等差数列，则a4等于()A．12B．13C．14D．16[答案]A[解析]令bn＝1an＋1，则b2＝1a2＋1＝13，b6＝1a6＋1＝1，由条件知{bn}是等差数列，∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝23，∴d＝16，∴b4＝b2＋2d＝13＋2×16＝23，∵b4＝1a4＋1，∴a4＝12.3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根[答案]A[解析]∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．4．下列命题中正确的个数是()(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc