第四章---凝固和熔化时的导热

第四章凝固和熔化时的导热第四章凝固和熔化时的导热仅介绍纯物质的相变，而且只限于一维问题。主要介绍几个经典的分析解。4-1半无限大区域中的相变问题首先考虑一维半无限大区域中液体凝固问题。22,0()sssttaxXx22,()llsttaxXx(4-l-la)(4-l-lb)边界条件在移动界面上温度是相变温度tm。另一个边界条件可由界面上的热量平衡导得(参见图4-1)：根据傅里叶定律，上式可改写为4-1半无限大区域中的相变问题(),()slsdXqqLxXd(),()slslsttdXLxXxxd(4-1-2)(4-l-3)4-1-1半无限大空间内的凝固过程一种液体具有高于凝固温度tm的均匀温度t∞，它被限制在x＞0的半无限大空间内。在τ=0时，x=0的边界面温度突然降到t0tm，并一直保持这一温度不变。由此固-液两相的分界面开始向x正方向移动。需要确定两相中的温度分布和分界面的位置。这一问题的完整的数学描述为在固相区内(4-1-4a)(4-1-4b)4-1半无限大区域中的相变问题22,0(),0sssttaxXx0,0,0sttx在液相区内(4-l-4c)(4-l-4d)(4-l-4e)分界面x=X(τ)处的耦合条件为(4-1-4f)(4-1-4g)4-1半无限大区域中的相变问题22,(),0lllttaXxx,,0lttx,0,0lttx,(),0slmtttxX(),(),0slslsttdXLxXxxd设解ts具有以下的形式：(4-l-5)设解tl具有以下的形式：(4-l-6)将式(4-l-5)、(4-1-6)代入界面条件式(4-1-4f)，可得(4-1-7)式中，是一个待定的常数。若求得η，则有(4-l-8)上式表明凝固层的厚度与成正比。4-1半无限大区域中的相变问题02ssxttAerfa02llxttBerfca00smlatAerftBerfcta()2sXa()2sXa由式(4-l-7)，系数A、B可表示为把系数A、B代入式(4-l-5)、(4-l-6)，可得固相和液相区域的温度分布(4-1-9a)(4-1-9b)把式(4-1-8)、(4-l-9a)、(4-l-9b)代入界面热平衡方程(4-l4g)，可得到计算参数η的关系式：(4-1-10)4-1半无限大区域中的相变问题mottAerf()mslttBerfcaa02lmnsttxerferftta02lslmlttaxerfcerfcatta22000expexp()()sllsmslmnmslaaattLerfattcttaerfca把方程(4-1-10)表示成无量纲的形式4-1半无限大区域中的相变问题2sXa2sadXXd000(),,,mssmmllttacttfttaL半无限大固体的熔化问题。一个特例：4-1半无限大区域中的相变问题20exp()()smLerfctt()fSte(4-1-10)或4-1半无限大区域中的相变问题图4-3边界温度恒定的半无限大固体的单区域熔化导热4-1-2单区域问题的积分方程解以单区域的凝固问题为例来介绍积分方程近似解。由于是单区域问题，以下略去下标s。定义过余温度θ＝t-tm。问题的边界条件为：θ＝θ0＝t-tm，x=0,τ0(4-l-12)θ＝0,x＝X(τ),τ0(4-l-13a)(4-1-13b)4-1半无限大区域中的相变问题(),(),0dXLxXXd4-1半无限大区域中的相变问题此时，对固相区写出积分方程为(4-1-14)或把式(4-l-13b)代入式(4-1-14)，得另一个形式的方程：(4-1-15)用二次多项式来近似固相区中的温度分布，设(4-1-16)该温度分布函数已满足x=X处的温度边界条件式(4-1-13a)，还需要两个条件来确定系数A和B。由条件式(4-1-12)可得(4-1-17)00(,)XxXxdxdxadxx00(,)XxdLdXxdxaddx2(,)()()xAxABxX20BXAX4-1半无限大区域中的相变问题另一个边界条件式(4-1-13b)不便直接应用于式(4-1-16)，为此需要作一些变换。对式(4-l-13a)微分可得把式(4-l-l)和式(4-1-13b)代入上式，整理可得(4-1-18)把式(4-1-16)代入上式，整理得(4-l-19)联立式(4-1-17)、(4-1-19)求解，得，(4-l-20)(),0,(),0ddXXxXdXd2220,(),0axXxLx220AaBL(11)LAucX02AXBX4-1半无限大区域中的相变问题其中。由于应该大于零，因此以上关于A的二次方程的两个根中取正根。由A、B就确定了温度分布。把温度分布代入积分方程，可以确定相变界面的位置X。如果采用积分方程(4-1-15)，则得解以上常微分方程，并由条件τ＝0，X＝0可得(4-l-21)022cSteLxXAx11651dXXad12112351Xa4-1半无限大区域中的相变问题即(4-1-22)还可以找到其他的条件，如把式(4-1-16)直接代入相变界面的热平衡条件式(4-1-13b)，可得则得(4-1-23)以上单区域问题的两个近似解与精确解式(4-1-11)的图线分别表示在图4-3中。可以看到，由相变界面的热平衡条件得到的式(4-1-23)较接近精确解。1211351(11)dXXad112()122Xa4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热在线性坐标系中相变问题存在解析解的必要条件是导热方程存在相似性解，即导热方程的解可以表示为的函数。由此可以推断，如果柱坐标系或球坐标系中导热方程的解也可以表示为的函数，则可能找到相应相变问题的解析解。容易证明分别满足柱坐标系和球坐标系中的导热微分方程。这些解可以用来得到特定条件下柱坐标系和球坐标系中相变问题的解析解。尽管柱坐标系中的相变问题在工程上有相当的重要性，但只有无限大区域中的恒热流线热源问题可以得到解析解。对球坐标系中相变问题的解析解有兴趣的读者可参阅文献[1]。24rEia12212()exp422()arrerfcraa4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热下面介绍柱坐标系中相变导热的精确解。一条强度恒定为Q(单位为W/m)的线热汇置于均匀温度为t∞tm的液体中。从τ＝0的时刻开始热汇不断地吸收热量，引起液体的凝固。这是一个轴对称问题。选择热汇的坐标为r=0，固、液两相的界面向r的正方向移动。坐标与固、液两个区域的温度分布示于图4-4中。固相区的导热微分方程为(4-2-la)1,0(),0sssttarrXr4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热图4-4无限大物体中由热线汇引起的凝固过程4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热液相区内导热的数学描述为(4-2-1b)(4-2-1c)(4-2-1d)两相界面上的藕合条件为(4-2-1e)(4-2-1f)1,()0,0lllttarXrrr,,0lttr,0,0lttr,(),0slmtttrX(),(),0slslsttdXLrXd4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热取固相区与液相区的温度分布为如下的形式：(4-2-2a)(4-2-2b)其中,是指数积分函数，已在3-4节关于线热源的讨论中涉及。因此可知这一形式的温度分布函数已自动满足柱坐标系中的导热微分方程(4-2-la)、(4-2-1b)，以及无穷远处的边界条件式(4-2-1c)和初始条件式(4-2-ld)。系数A、B、C由其余的条件确定。2(,),0()4ssrtrABEirXa2(,),()4llrtrtCEiXra()uzeEizduu4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热对温度分布式(4-2-2a)、(4-2-2b)求导得(4-2-3)(4-2-4)线热汇的强度等于r＝0处导出的热量。因此(4-2-5)22exp4sstBrrra22exp4lltCrrra0lim24sssrtQrBr4sQB4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热相变界面上的耦合条件为上式对任何时刻τ都成立，可知应为常量，即(4-2-6)且有(4-2-7)22()()444msslQXXAEitCEitaa22()4sXa()2sXa224/msmslQAtEittCEiaa4-2柱坐标系和球坐标系中的相变导热把以上温度分布代入相变界面的热平衡条件，得(4-2-8)解此超越方程得到它的根η，就最终确定了温度分布和相变界面的位置。对于柱坐标系中的单区间问题，即t∞=tm，以上方程简化为(4-2-9)2222exp()exp(/)4/lmslsslttQaaaLEiaa22exp()4sQaL