2020年高考理科数学全国卷3

理科数学第页（共4页）12020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合},,|),{(*xyyxyxAN，}8|),{(yxyxB，则BA中元素的个数为A.2B.3C.4D.62.复数i311的虚部是A.103B.101C.101D.1033.在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为4321pppp，，，，且141iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.0.41.03241pppp，B.0.14.03241pppp，C.0.32.03241pppp，D.0.23.03241pppp，4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：)53(23.0e1)(tKtI，其中K为最大确诊病例数。当KtI95.0)(*时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（319ln）A.60B.63C.66D.695.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线)0(2:2ppxyC交于D、E两点，若OEOD，则C的焦点坐标为A.)0,41(B.)0,21(C.)0,1(D.)0,2(6.已知向量a、b满足61||5||baba，，，则baa,cosA.3531B.3519C.3517D.35197.在ABC中，3432cosBCACC，，，则BcosA.91B.31C.21D.328.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.246B.244C.326D.324理科数学第页（共4页）29.已知7)4tan(tan2，则tanA.-2B.-1C.1D.210.若直线l与曲线xy和圆5122yx都相切，则l的方程为A.12xyB.212xyC.121xyD.2121xy11.设双曲线)0,0(1:2222babyaxC的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为5。P是C上一点，且PFPF21。若21FPF的面积为4，则a=A.1B.2C.4D.812.已知4585，54813。设8log5log3log1385cba，，，则A.cbaB.cabC.acbD.bac二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x、y满足约束条件,1,02,0xyxyx则yxz23的最大值为____________。14.6)2(2xx的展开式中常数项是____________（用数字作答）。15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________。16.关于函数xxxfsin1sin)(有如下四个命题：①)(xf的图像关于y轴对称。②)(xf的图像关于原点对称。③)(xf的图像关于直线2x对称。④)(xf的最小值为2。其中所有真命题的序号是________________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）设数列}{na满足naaann43311，。（1）计算32aa，，猜想}{na的通项公式并加以证明；（2）求数列}2{nna的前n项和nS。理科数学第页（共4页）318.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次400空气质量好空气质量不好附：))()()(()(22dbcadcbabcadnK，19.（12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1。（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A—EF—A1的正弦值。理科数学第页（共4页）420.（12分）已知椭圆)50(125:222mmyxC的离心率为415，A、B分别为C的左、右顶点。（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且BQBPBQBP，||||，求APQ的面积。21.（12分）设函数cbxxxf3)(，曲线)(xfy在点))21(,21(f处的切线与y轴垂直。（1）求b；（2）若)(xf有一个绝对值不大于1的零点，证明：)(xf所有零点的绝对值都不大于1。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为)1(,32,222ttttyttx为参数且，C与坐标轴交于A、B两点。（1）求||AB；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。23.[选修54：不等式选讲]（10分）设10,,abccbacba，，R。（1）证明：0cabcab；（2）用},,max{cba表示cba，，的最大值，证明：34},,max{cba。