2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练二十二选修44坐标系与参数方程解析

专题强化训练(二十二)选修4－4坐标系与参数方程1．[2019·济南模拟]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝1＋3sinθ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π6＝23.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)射线OP的极坐标方程为θ＝π6，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．解：(1)由x＝3cosθ，y＝1＋3sinθ，可得x＝3cosθ，y－1＝3sinθ，所以x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3，所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.由ρsinθ＋π6＝23，可得ρ32sinθ＋12cosθ＝23，所以32ρsinθ＋12ρcosθ－23＝0，所以直线l的直角坐标方程为x＋3y－43＝0.(2)解法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0.由题意设Aρ1，π6，Bρ2，π6，将θ＝π6代入ρ2－2ρsinθ－2＝0，得ρ21－ρ1－2＝0，所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)．将θ＝π6代入ρsinθ＋π6＝23，得ρ2＝4，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.解法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝π6，所以射线OP的直角坐标方程为y＝33x(x≥0)．由x2＋y－12＝3，y＝33xx0解得A(3，1)．由x＋3y－43＝0，y＝33xx0解得B(23，2)，所以|AB|＝23－32＋2－12＝2.2．[2019·武汉4月调研]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsinθ＋π4＝22，C2：ρ2＝13－4sin2θ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．解：(1)由ρsinθ＋π4＝22得ρsinθcosπ4＋cosθsinπ4＝22，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入上式得x＋y＝1，即C1的直角坐标方程为x＋y－1＝0，同理由ρ2＝13－4sin2θ可得3x2－y2＝1，∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1(2)先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由3x2－y2＝1，x＋y＝1得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0，∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，则MN的中点坐标为－12，32，∴|MN|＝1＋－12|x1－x2|＝2×1－4×－11＝10.∴以MN为直径的圆的方程为x＋122＋y－322＝1022，令x＝0，得14＋y－322＝104，即y－322＝94，∴y＝0或y＝3，∴以MN为直径的圆与y轴的交点的坐标为(0,0)或(0,3)．3．[2019·合肥质检二]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝sinα(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝4ρsinθ－3.(1)写出曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值．解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数得，曲线C1的普通方程为x24＋y2＝1.将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入曲线C2的极坐标方程得，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4y－3，即x2＋(y－2)2＝1.(2)由(1)知曲线C2是以C(0,2)为圆心，1为半径的圆．设P点的坐标为(2cosα，sinα)，则|PQ|≤|PC|＋1＝4cos2α＋sinα－22＋1＝－3sin2α－4sina＋8＋1，当sinα＝－23时，|PQ|max＝2213＋1.4．[2019·郑州质量预测二]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l的参数方程为x＝－2＋22t，y＝22t(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点．(1)若点P的极坐标为(2，π)，求|PM|·|PN|的值；(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值．解：(1)由ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12得x2＋3y2＝12，故曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，点P的直角坐标为(－2,0)，将直线l的参数方程x＝－2＋22t，y＝22t代入曲线C的直角坐标方程x212＋y24＝1中，得t2－2t－4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝4.(2)由曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，可设曲线C上的动点A(23cosθ，2sinθ)，0＜θ＜π2，则以A为顶点的内接矩形的周长为4(23cosθ＋2sinθ)＝16sinθ＋π3，0＜θ＜π2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当θ＝π6时取得最大值．5．[2019·石家庄一模]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝rcosα＋2，y＝rsinα，(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|的取值范围．解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，化简得ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.(2)解法一：把θ＝π3代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.令Δ＝4－4(4－r2)＞0，结合0r2，得3r24.方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0，∴1|OA|＋1|OB|＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r2.∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，∴1|OA|＋1|OB|∈(2，＋∞)．解法二：射线l的参数方程为x＝12ty＝32t(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0，令Δ＝4－4(4－r2)0，结合0r2，得3r24，方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t10，t20，∴1|OA|＋1|OB|＝1t1＋1t2＝t1＋t2t1t2＝24－r2.∵3r24，∴04－r21，∴1|OA|＋1|OB|∈(2，＋∞)．6．[2019·长沙一模]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为x＝1＋cosφ，y＝1＋sinφ(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l和M的极坐标方程；(2)当α∈0，π4时，求|OA|＋|OB|的取值范围．解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，所以M的极坐标方程为ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0.(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数，将θ＝α代入ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0，得ρ2－2(cosα＋sinα)ρ＋1＝0，当α∈0，π4时，Δ＝4sin2α＞0，所以ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)，根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径．从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)＝22sinα＋π4.当α∈0，π4时，α＋π4∈π4，π2，故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,22]．7．[2019·福州质检]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－12ty＝a＋32t(t为参数，a∈R)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C交于O，P两点，直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)当|AB|＝|OP|时，求a的值．解：(1)将直线l的参数方程化为普通方程，得3x＋y－a＝0.由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，从而x2＋y2＝4x，即曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0.(2)解法一：由ρ＝4cosθ，θ＝π3ρ≥0，得P2，π3.所以|OP|＝2，将直线l的参数方程代入圆的方程x2－4x＋y2＝0中，得t2＋(2＋3a)t＋a2＝0，由Δ0，得23－4a23＋4.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝4＋43a－a2＝2，解得，a＝0或a＝43.所以，所求a的值为0或43.解法二：将θ＝π3(ρ≥0)化为直角坐标方程，得3x－y＝0(x≥0)，由(1)知，曲线C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，由点到直线的距离公式，得点C到该射线的最短距离d＝233＋1＝3，所以该射线与曲线C相交所得的弦长为|OP|＝222－32＝2.圆心C到直线l的距离为：|23－a|3＋1＝|23－a|2，由|23－a|22＋12＝22，得(23－a)2＝12，即23－a＝±23，解得，a＝0或a＝43.所以，所求a的值为0或43.8．[2019·洛阳统考]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝1＋2ty＝－2＋t(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin2θ.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设曲线C2经过伸缩变换x′＝2xy′＝y得到曲线C3，M(x，y)是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．解：(1)根据x＝1＋2ty＝－2＋t，消参可得曲线C1的普通方程为x－2y－5＝0，∵ρ2＝41＋3sin2θ，∴ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，将x＝ρcosθy＝ρsiinθx2＋y2＝ρ2，代入可得：x2＋4y2＝4.故曲线C2的直角坐标方程为x24＋y2＝1.(2)曲线C2：x24＋y2＝1，经过伸缩变换x′＝2xy′＝y得到曲线C3的方程为x′216＋y′2＝1，∴曲线C3的方程为x216＋y2＝1.设M(4cosα，sinα)，根据点到直线的距离公式可得点M到曲线C1的距离d＝|4cosα－2sinα－5|12＋－22＝|2sinα－4cosα＋5|5＝|25sinα－φ＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tanφ＝2)，∴点M到曲线C1的距离的最大值为2＋5.