通用版2020版高考数学大二轮复习专题突破练28坐标系与参数方程理选修44

专题突破练28坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2019吉林长春外国语学校高二下学期第二次月考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2=.(1)若以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程;(2)若P(x,y)是曲线C上的一个动点,求x+2y的最大值.2.已知直线l的参数方程为{(其中t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-2mρcosθ-4=0(其中m0).(1)若点M的直角坐标为(3,3),且点M在曲线C内,求实数m的取值范围;(2)若m=3,当α变化时,求直线l被曲线C截得的弦长的取值范围.3.(2019河北唐山第一中学高三下学期冲刺二)已知直线l:{√(t为参数),曲线C1:{(θ为参数).(1)设l与C1相交于AB两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的√倍,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.4.(2019晋冀鲁豫中原名校高三第三次联考)在极坐标系中,O为极点,点A√,点B√.(1)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求经过O,A,B三点的圆M的直角坐标方程;(2)在(1)的条件下,圆N的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0(a0),若圆M与圆N相切,求实数a的值.5.(2019内蒙古呼伦贝尔高三模拟统一考试)在直角坐标系中,圆C的参数方程为{√(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若直线l:{(t为参数)被圆C截得的弦长为2√,求直线l的倾斜角.6.在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为{(t为参数),直线l2的参数方程为{-(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-√=0,M为l3与C的交点,求M的极径.7.(2019河北石家庄高中毕业班模拟)在极坐标系中,曲线C的方程为ρcos2θ=asinθ(a0),以极点为原点,极轴所在直线为x轴建立直角坐标,直线l的参数方程为{-√-√(t为参数),l与C交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)设点P(2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.8.(2019湖南桃江第一中学高三5月模拟考试)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x+y-a=0,曲线C的参数方程为{(α为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且直线OA与OB的斜率之积为,求a.专题突破练28坐标系与参数方程(选修4—4)1.解(1)由题得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36,所以4x2+9y2=36,故=1.所以曲线C的直角坐标方程为=1.(2)设P(3cosα,2sinα),所以x+2y=3cosα+4sinα=5sin(α+β)≤.其中β在第一象限,且tanβ=所以x+2y的最大值为5.2.解(1)由{得曲线C对应的直角坐标方程为(x-m)2+y2=m2+4.由点M在曲线C的内部,∴(3-m)2+9m2+4,求得实数m的取值范围为,+∞.(2)直线l的极坐标方程为θ=α,代入曲线C的极坐标方程整理得ρ2-6ρcosα-4=0,设直线l与曲线C的两个交点对应的极径分别为ρ1,ρ2,ρ1+ρ2=6cosα,ρ1ρ2=-4,则直线l截得曲线C的弦长为|ρ1-ρ2|=√)-√[4,2√].即直线l被曲线C截得的弦长的取值范围是[4,2√].3.解(1)l的普通方程为y=√(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立方程组{√-)解得l与C1的交点为A(1,0),B,-√,则|AB|=1.(2)C2的参数方程为{√(θ为参数),故点P的坐标是cosθ,√sinθ,从而点P到直线l的距离是|√-√-√|√√sinθ-+2,由此当sinθ-=-1时,d取得最小值,且最小值为√√-1).4.解(1)在平面直角坐标系中,点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(1,-1),可得圆M的圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆M的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圆N的极坐标方程,可得圆N的直角坐标方程为x2+y2-2y+1-a2=0,整理为x2+(y-1)2=a2,可得圆N的圆心为(0,1),半径为a,圆M与圆N的圆心距为√,若圆M与圆N相外切,有a+1=√,所以a=√-1.若圆M与圆N内切,则有a-1=√,所以a=√+1.综上:实数a=√-1或a=√+1.5.解(1)圆C:{√消去参数α,得(x-1)2+(y-√)2=4,即x2+y2-2x-2√y=0.∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ.∴ρ2-2ρcosθ-2√sinθ=0,所以ρ=4cosθ-.故圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ-.(2)直线l:{的极坐标方程为θ=φ,当θ=φ时,ρ=4cosφ-=2√即cosφ-=√,∴φ-或φ-=-∴φ=或φ=∴直线l的倾斜角为或6.解(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得{-)).消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0θθ≠).联立{-))-√0得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).故tanθ=-,从而cos2θ=0,sin2θ=0代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为√7.解(1)由题意,曲线C的极坐标方程可化为ρ2cos2θ=aρsinθ(a0),又由{(θ为参数),可得曲线C的直角坐标方程为x2=ay(a0),由直线l的参数方程为{-√-√(t为参数),消去参数t,得x+y-1=0,即直线l的普通方程为x+y-1=0.(2)把l的参数方程{-√-√(t为参数)代入抛物线的直角坐标方程中,得t2-(4√√a)t+(8+2a)=0,由Δ=2a2+8a0,设方程的两根分别为t1,t2,则t1+t2=4√√a0,t1t2=8+2a0,可得t10,t20.所以|MN|=|t1-t2|,|PM|=t1,|PN|=t2.因为|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,所以(t1-t2)2=t1t2,即(t1+t2)2=5t1t2.则(4√√a)2=5(8+2a),解得a=1或a=-4(舍去负值).所以实数a=1.8.解(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x+y-a=0的方程中,所以直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-a=0.在曲线C的参数方程中,消去α,可得+y2=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入+y2=1的方程中,所以曲线C的极坐标方程为ρ2(4sin2θ+cos2θ)=4.(2)直线l与曲线C的公共点的极坐标满足方程组{-0)由方程组得a2(4sin2θ+cos2θ)=4(cosθ+sinθ)2,得4a2sin2θ+a2cos2θ=4(sin2θ+cos2θ+2cosθsinθ),两边同除cos2θ,可化为4a2tan2θ+a2=4+8tanθ+4tan2θ,即(4a2-4)tan2θ-8tanθ+a2-4=0.设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则kOAkOB=tanθ1tanθ2=--,解得a=±