《不等关系与比较大小》课件

3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小1.了解不等式(组)的实际背景．2.学会比较两个数大小的方法．1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．2.作差比较法是高考中常考的方法，常出现在各种题型中，属中低档题.1．在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．锐角三角形的任一个内角都小于.2.数轴上(如图)的点A，B，C所对应的数a，b，c的大小关系是.3．若x－3＞0，则x与3的大小关系是x3.大于小于90°c＜a＜b＞4．一般的人，下半身长x与全身长y的比值xy在0.57～0.6之间，而芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起给人以美的享受．原来，脚尖立起调整了身段的比例．如果设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长的比由xy变成了x＋my＋m，这个比值非常接近黄金分割值0.618.用来解释这种现象的数学关系是0.58≈xy＜x＋my＋m≈0.618，怎样判定“＜”的关系成立呢？1．不等式中文字语言与数学符号之间的转换2.作差法比较两实数大小作差法的依据如果，那么a＞b.如果，那么a＜b.如果，那么a＝b.大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于＞＜≥≥≥≤≤≤a－b＞0a－b＜0a－b＝01．若b0，a＋b0，则a－b的值()A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定解析：∵b0，a＋b0，∴a－b0，∴a－b0.答案：A2．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A.v≤120km/hd≥10mB．v≤120(km/h)或d≥10(m)C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)答案：A3．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．用(“＞”连接)解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0∴f(x)＞g(x)答案：f(x)＞g(x)4．已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解析：a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)∵a＞0，b＞0且a≠b∴(a－b)2＞0，a＋b＞0∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0即a3＋b3＞a2b＋ab2《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.1～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克……”设身高为h(米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.文字表述身高在1.1～1.5米之间身高超过1.5米身高不足1.1米物体长、宽、高之和不超过160厘米符号表示由题目可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高之和用P(厘米)表示；(2)题目要求用不等式表示不等关系．解答本题可先理解题目所提供的不等关系，再用不等式表示．[解题过程]身高在1.1～1.5米之间可表示为1.1≤h≤1.5.身高超过1.5米可表示为h＞1.5，身高不足1.1米可表示为0＜h＜1.1，物体长、宽、高之和不超过160厘米可表示为P≤160.答案：1.1≤h≤1.5h＞1.50＜h＜1.1P≤160[题后感悟]不等式是不等关系的符号表示．在用不等式表示不等关系时应特别注意能否取等号的问题，如本题中“超过”或“不足”都不能取等号，而“不超过”则包含相等情况，应该取等号。1.某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？解析：设买软件x片，磁盘y盒，根据题意可得软件数与磁盘数应满足的条件是60x＋70y≤500x≥3且x∈Ny≥2且y∈N，即6x＋7y≤50x≥3且x∈Ny≥2且y∈N.已知x＜－1，比较x3＋1与－2x2－2x的大小．由题目可获取以下主要信息：①x－1；②比较x3＋1与－2x2－2x的大小．解答本题可先作差，再因式分解进行变形．[解题过程]x3＋1－(－2x2－2x)＝x3＋2x2＋2x＋1＝(x3＋x2)＋(x2＋2x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)＝(x＋1)x＋122＋34∵x－1，∴x＋10又∵x＋122＋340∴(x＋1)x＋122＋340∴x3＋1－2x2－2x[题后感悟](1)比较两个实数a，b的大小，一般用作差比较法，其根据是：a≥b⇔a－b≥0，a＜b⇔a－b＜0，其实质是判定(a－b)的值与0的大小关系．(2)作差法比较两个实数大小的基本步骤2.将题目中“x－1”改为“x∈R”，比较x3＋1与－2x2－2x的大小．解析：x3＋1－(－2x2－2x)＝(x＋1)x＋122＋34(1)当x－1时，(x＋1)x＋122＋340即x3＋1－2x2－2x(2)当x＝－1时，(x＋1)x＋122＋34＝0即x3＋1＝－2x2－2x(3)当x－1时，(x＋1)x＋122＋340即x3＋1－2x2－2x(1)比较x2－2ax与2a－2a2－3的大小(a，x∈R)．(2)已知a，b∈R＋，比较aabb与abba的大小．[规范作答](1)(x2－2ax)－(2a－2a2－3)＝(x2－2ax＋a2)＋(a2－2a＋3)＝(x－a)2＋(a－1)2＋2.2分∵(x－a)2≥0，(a－1)2≥0，∴(x2－2ax)－(2a－2a2－3)＞0，即x2－2ax＞2a－2a2－3.4分(2)由a，b∈R＋，aabbabba＝aba－b讨论：①当a＞b时，ab＞1，a－b＞0，所以aba－b＞1，所以aabb＞abba.6分②当a＝b时，ab＝1，a－b＝0，所以aba－b＝1，所以aabb＝abba.8分③当a＜b时，0＜ab＜1，a－b＜0，所以aba－b＞1，所以aabb＞abba.10分综上可知，aabb≥abba，a，b∈R＋.12分[题后感悟](1)作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．(2)作商法的适用对象：所比较的两个式子均为乘积的形式或可以转化为乘积的形式，往往可以考虑作商法．(3)作商法的一般步骤：①转化为乘积形式；②作商；③判断商值与1的大小关系；④结论.3.(1)已知a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．(2)若x＜y＜0，证明：(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．解析：(1)M－N＝a＋1－a1－a－a－11＝a＋12－a2a＋1＋a－a2－a－12a＋a－1＝1a＋1＋a－1a＋a－1＝a－1－a＋1a＋1＋aa＋a－1.∵a≥1，∴a＋1＋a＞0，a＋a－1＞0，又a－1－a＋1＜0，∴M－N＜0.∴M＜N.(2)证明：∵x＜y＜0，∴x－y＜0，x2－y2＞0，x＋y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)＜0，(x2－y2)(x＋y)＜0，∵x2＋y2x－yx2－y2x＋y＝x2＋y2x＋y2＝x＋y2－2xyx＋y2＝1－2xyx＋y2，∵x＜y＜0，∴2xy＞0，∴2xyx＋y2＞0，∴1－2xyx＋y2＜1.∴x2＋y2x－yx2－y2x＋y＜1，∵(x2－y2)(x＋y)＜0，(x2＋y2)(x－y)＜0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差，作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判断差的符号是正、负还是零．(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．◎设x∈R且x≠－1，比较11＋x与1－x的大小．【错解】∵11＋x－(1－x)＝1－1－x21＋x＝x21＋x，而x2≥0.∴当x－1时，x＋10，x21＋x≥0，即11＋x≥1－x.当x－1时，x＋10，x21＋x≤0，即11＋x≤1－x.【错因】作差比较大小，变形后的结果难以确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标准．这里分类不完全，在x－1时，x20，不应有x21＋x≤0，最好把x＝0分一类进行讨论，这样比较恰当．【正解】∵11＋x－(1－x)＝x21＋x，而x2≥0，(1)当x＝0时，x21＋x＝0，∴11＋x＝1－x.(2)当1＋x0，即x－1时，x21＋x0，∴11＋x1－x.(3)当1＋x0且x≠0，即－1x0或x0时，x21＋x0，∴11＋x1－x.练考题、验能力、轻巧夺冠