第三章(多自由度系统的振动)

上次课内容回顾1.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式d(),1,,diiiiTTVQintqqq系统不存在粘性阻尼时d(),1,,diiiiiTTDVQintqqqq系统存在粘性阻尼时上次课内容回顾2.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤①判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;②以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；⑤将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.③对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式1niiiWQq从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；上次课内容回顾在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著《振动理论及应用》4.微振动假设下的注意事项3.用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力,是建立复杂离散系统运动微分方程的首选方法；即可用于线性系统，也可用于非线性系统。多自由度系统的振动第三章与单自由度系统相比，多自由度振动系统带来的一些变化有：系统的固有频率不是一个，而是多个；引入了固有振型的概念；固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性是线性振动理论的精髓；在研究方法上大量使用线性代数和矩阵理论方面的知识；第三章：多自由度系统的振动分析1.预备知识——线性代数与矩阵理论2.多自由度系统的固有振动第一讲：第三章：多自由度系统的振动分析预备知识－线性代数与矩阵理论21233133aaaa【代数余子式】ijM已知为一矩阵,则的余子式定义为:划掉所在的第行和第列的元素,剩下的元素组成的矩阵的行列式,计作=()ijaAijaijaij=(1)ijijijAM代数余子式111213212223313233aaaaaaaaaA12a则的代数余子式=已知:余子式预备知识－线性代数与矩阵理论【矩阵的行列式的计算】定理：任意方阵的行列式等于它的任一行或任意列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。11122122aaaaA已知：11122122det()aaaaA则：11221221aaaa111213212223313233aaaaaaaaaA已知：det()A则：111112121313aAaAaATTTTSCBA预备知识－线性代数与矩阵理论【矩阵转置】T()ABCS将矩阵的行、列互换所得到的矩阵就是的转置矩阵，用表示。=()ijaAATA矩阵的转置满足以下规律：TT()AAT(+)ABTTABT()ABTTBA11adj||AAA【矩阵的逆】预备知识－线性代数与矩阵理论如果一个矩阵的行列式等于0，这个矩阵就称为奇异矩阵。【奇异矩阵】(),,ijnnijijaAaA已知为的代数余子式则112111222212adjnnnnnnAAAAAAAAAA(),,ijnnijijaAaA已知为的代数余子式则的伴随矩阵A的各个元素的代数余子式所组成的矩阵的转置AAxByCxDyABxCDy==ABEFCDGHAEBGAFBHCEDGCFDH预备知识－线性代数与矩阵理论【分块矩阵的乘积】【半正定矩阵】【正定矩阵】对任意0,X有T0,XAX则为正定矩阵。A有A对任意0,XT0XAX则为半正定矩阵。预备知识－线性代数与矩阵理论【线性相关与线性无关】定义向量线性相关指的是：存在不全为零的数使12,,,mααα12,,,mkkk1122mmkkkααα0定义向量线性无关指的是：仅当才使12,,,mααα120mkkk1122mmkkkααα0也就是说，若1122mmkkkααα0则必有120mkkk预备知识－线性代数与矩阵理论【线性代数方程组的解】奇次线性方程组=0(1)AX有非零解的充要条件是||0A定义奇次方程组（1）的一组解称为（1）的一个基础解系，如果12,,,t1.(1)的任一个解都能表示成的线性组合；12,,,t2.线性无关。12,,,t定理在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的个数等于。nr是系数矩阵的秩。:r:nr也是自由未知量的个数。预备知识－线性代数与矩阵理论【特征值与特征向量】=Aφφ定义：设是阶矩阵，如果对于数，存在非零列向量，使得Anφ则称是的一个特征值，是的属于特征值的特征向量。AφA剪切变换前后的蒙娜丽莎图像红色箭头是剪切变换的特征向量蓝色箭头不是剪切变换的特征向量推论：如果向量是的属于特征值的特征向量，则（为任意常数）也是的属于特征值的特征向量。φAcφ0cA如何求特征值和特征向量？||0IA求方程的根得到特征值；()0iIAφ求线性方程组的基础解系；预备知识－线性代数与矩阵理论【内积】如果12=(,,,),naaaa12(,,,)nbbbb则与的内积定义为ab1(,)=niiiabab【正交】预备知识－线性代数与矩阵理论如果(,)=0ab则与正交或垂直ab【二次型】一个元多项式n称为元二次型。22121111212112222323222(,,)222+2nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxnT12(,,)nfxxxxAx12nxxxx111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA它可以表示为如下矩阵相乘的形式返回1.同步振动是否存在？k1u12uk2k3m12m()()0ttMuKu假设系统存在这样的振动，系统的位移可写作:()()tftuψ多自由度系统的固有振动系统是否存在这样一种特殊的运动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不同之外，随时间的变化规律都相同的同步运动？运动规律系统各个自由度上的振动幅值()()0ftftMψKψ()()0TTftftψMψψKψ2()()0ftft()()0TTftftψMψψKψ()()0TTftftψKψψMψ()sin()ftat()()tftuψ()sin()sin()tattuψφ系统存在形如形式的同步振动。结论：()sin()ttuφ多自由度系统的固有振动()sin()ttu()()0ttMuKu2()sin()0tKM()KM20对任意时间都成立有非零det()KM0特征方程(1,2,)rrN特征值(1,2,)rrN特征向量2()0,KM广义特征值问题2.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动(1,2,)rrN第一阶固有频率第二阶固有频率第N阶固有频率1210NN第一阶固有振型第二阶固有振型第N阶固有振型12,,,N固有频率（模态频率）固有振型（模态振型）多自由度系统的固有振动rr()sin()ttu1111()sin()ttu第一阶固有振动2222()sin()ttu第二阶固有振动()sin()NNNNttu第N阶固有振动固有振动只是系统可能发生的一种运动形式。当系统作固有振动时，系统各个自由度都作幅值不同(一般情况下),但频率却相同的简谐运动,各个自由度的简谐运动之间的相位差不是0度就是180度.固有振动固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动周边固支鼓膜的各阶固有振动从物理上看：第i阶固有振型向量中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。ii如何理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独立的?2()0rrKM结论:当不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见振动力学刘延柱第74页).r多自由度系统的固有振动mmm12kkk13,kk201【例】设图中二自由度系统的物理参为,,,确定系统的固有振动.k1u12uk2k3m12m系统运动方程：11220(1)00(1)0uumkkuumkk0MuKu有非零2det()0KM2()0KM12(12),kkmm121111多自由度系统的固有振动k1u12uk2k3m12m112211(12)()sin,()sin11kkttttmmuu固有振动：u1=1=1u2=1u2=1u112节点STOP多自由度系统的固有振动()()0ttMuKu固有频率和固有振型固有振动固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动。2()0KM固有频率，固有振型内容回顾1.理解固有振型第二讲：2.固有振型的正交性3.固有频率为零的情况第三章：多自由度系统的振动分析1st水平弯曲2nd水平弯曲1st扭转2nd扭转1st垂直弯曲2nd垂直弯曲从物理上看：第i阶固有振型向量中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。ii如何理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；理解固有振型图膜的各阶固有振型理解固有振型【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独立的?2()0rrKM结论:当不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见振动力学刘延柱第74页).r图一杯热咖啡的某阶固有振动（大约20Hz）理解固有振型【题】：图示的三自由度系统，试计算系统的固有频率和固有振型。()()ttMuKu0解:系统的运动方程为:000000mmmM30203kkkkkkkK其中:理解固有振型2323222()8()19120kkkmmm122330000200003000kkmkkkmkkm广义特征值问题:222302003kmkkkmkkkm特征方程:1233,,2kkkmmm固有频率:理解固有振型122330000200003000kkmkkkmkkm1km(1)1(1)2(1)330020030kkkkkkkkkk(1)(1)12(1)(1)(1)123(1)(1)2320020kkkkkkk展开2同理，将代入到特征值问题的方程中，解方程得到(2)20(2)31(2)113同理，将代入到特征值问题的方程中，解方程得到(3)21(3)31(3)11(1)11令：，则(1)320kkk(1)220kk(1