有理函数及三角函数有理式的积分

§3.6有理函数及三角函数有理式的积分教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如，31,,ln,sin2xdxdxexdxdxxxx，被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。二、有理函数的积分有理函数)(xR是指由两个多项式的商所表函数，即)(xRmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m和n都是非负整数；naaaa,,,,210及mbbbb,,,,210都是实数，通常总假定分子多项式)(xP与分母多项式)(xQ之间没有公因式，并且00a，00b.当mn时，称)(xR为真分式；而当mn时，称)(xR为假分式.一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如111122234xxxxxxx.多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，而真分式的积分往往是转化为最简分式来计算．鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.在实数范围内，真分式)()(xQxP总可以分解成最简分式之和，且具有这样的对应关系：①如果)(xQ中有因式kax)(，那么分解后相应有下列k个最简分式之和)()()(121axAaxAaxAkkk，其中1A、2A、…、kA都是常数.特别地，如果1k，那么分解后只有一项axA；②如果)(xQ中有因式kqpxx)(2（042qp），那么分解后相应有下列k个最简分式之和qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(，其中iM、iN都是常数.特别地，如果1k，那么分解后只有一项qpxxNMx2.有理真分式总能分解为若干个部分分式之和的形式（部分分式是指这样一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式）。从而得到，有理真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式的积分：（1）;dxaxA（2）dxaxAn)(（2）)04(22qpdxqpxxNMx（3）为常数、、其中系数NMAqpdxqpxxNMxn),04()(22综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分dxxQxPmn)()(的步骤书为：第一步将)(xQm分解为（2）的形式；第二步将)()(xQxPmn分解为（3）的形式；第三步求各部分分式的原函数。下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤．例1把2)1(1xx分解为最简分式之和.解：根据真分式的性质可设2)1(1xx=)1()1(2xCxBxA上式两端去分母后，得)1()1()1(12xCxBxxA或)2()2()(12AxCBAxCA因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有1020ACBACA从而解得1A，1B，1C.于是得2)1(1xx=)1(1)1(112xxx.注：此题定A、B、C还有另法：在恒等式⑴中，代入适当的x值，即可求出待定的常数.在式⑴中令1x，得1B；令0x，得1A；再令2x，得1C.于是得2)1(1xx=)1(1)1(112xxx.例2把6532xxx分解为最简分式之和．解：因为)3)(2(652xxxx所以，令6532xxx32xBxA，其中A、B为待定常数．上式两端去分母后，得)3()2()3(3xBxAx或)4()23()(3BAxBAx比较两端系数有3)3(1BABA从而解得5A，6B.所以6532xxx3625xx注：此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数．例3把)22)(2(22xxxx分解为最简分式之和．解：因为分母中222xx为二次质因式，故应分解为)22)(2(22xxxx2xA222xxCBx两端去分母得)2)(()22(22xCBxxxAx比较两端对应项的系数不难求得2A，1B，2C所以)22)(2(22xxxx22x2222xxx由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和，其积分最终归结为多项式、axA、kaxA)(、qpxxNMx2、kqpxxNMx)(2)04,1,(2qpkNk等五类函数的积分．显然，前面四类都比较容易积出，我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后一类积分较繁，其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论.例4求dxxxxxx65924223.解：因为165924223xxxxxx6532xxx又由前面例2知6532xxx3625xx所以,dxxxxxx65924223dxxxx36251Cxxxx3ln62ln522例5求dxxx2)1(1.解：因为2)1(1xx=)1(1)1(112xxx所以dxxx2)1(1dxxxx)1(1)1(112dxx1dxx2)1(1dxx11Cxxx1ln11ln.例6求dxxxxx)22)(2(22.解：由例3可得dxxxxx)22)(2(22dxx22dxxxx2222又dxxxx2222dxxxx221)22(212dxxxx2222212dxxx221222)22(2122xxxxd1)1()1(2xxdCxxx)1arctan(22ln212从而dxxxxx)22)(2(22Cxxxx)1arctan(22)2(ln22二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。由于各种三角函数都可用xxcossin及的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由xxcossin、及常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为)cos(sinxxR，,其中),(vuR表示两个变量的有理式，积分dxxxR)cos,(sin称为三角有理式的积分。下面通过举例来说明这类函数的积分方法.例7求dxxxcossin11.解：因为2cos2sin2cos2sin2sin22xxxxx2tan12tan22xx2cos2sin2sin2coscos2222xxxxx2tan12tan122xx所以,令ux2tan，则uxarctan2，于是xsin212uu，xcos2211uu，dx212udu.代入原积分得dxxxcossin11222212111211uduuuuuduu11Cu1lnCx2tan1ln.一般说来，对于三角函数有理式积分，总可作变量代换ux2tan，将其转化为u的有理函数的积分.即有dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12例8求dxxxx)cos1(sinsin1解：令ux2tan，则uxarctan2，于是dxxxx)cos1(sinsin1duuu2121Cuuu241ln21Cxxx2tan2tan412tanln212.最后需要指出的是：上面所谈两类函数的积分方法是常规方法，虽然有效但往往非常麻烦，因此，在具体解题时，应尽量采用其它简便方法，只有在用其它方法难以积分的情况下才采用上述方法.如下面的例题例9求dxxx132解：此题属于有理函数积分，可采用上述常规方法做，但用下列方法计算较简便dxxx1321)1(3133xxdCx1ln313.例10求dxxx2)1(5.解：此题也属于有理函数积分，用下列做法计算较简便dxxx2)1(5dxxx2)1(6)1(dxx11dxx2)1(16)1(11xdx)1()1(162xdxCxx161ln例11求dxxxsin1sin.解：此例属于三角函数有理式积分，用下面做法计算较为简便dxxxsin1sindxxxx2cos)sin1(sindxxx2cossindxxx22coscos1xxd2cos)(cosdxx2cos1dxCxxxtancos1ux2tan形如)0(cossincossin22badxxbxaxdxc的积分，一般可将被积函数的分子凑成分母与分母的导数的线形组合，即令)cossin()cossin(cossinxbxaBxbxaAxdxc，通过比较等式两端xxcossin和的系数，求出A和B.对形如nxdxmxnxdxmxnxdxmxcoscos,sinsin,cossin的积分一般是将被积函数积化和差后再积分。小结：本节主要学习了有理函数及三角函数有理式的积分。习题3.6求下列积分：⑴dxxxxx)3)(2)(1(；⑵dxxxx43322；⑶dxxxx2324；⑷dxxxx)1)(1(2；⑸dxx133；⑹dxxxx32)1(12；⑺dxxxxx34251；⑻dxxxx)1()1(122；⑼xdxsin45；⑽xdxcos3；⑾dxxx2cos21tan；⑿5cossin2xxdx；