线性系统理论-郑大钟(第二版)

线性系统理论郑大钟清华大学出版社第一章绪论第二章线性系统的状态空间描述第三章线性系统的运动分析第四章线性系统的能控性和能观测性第五章系统运动的稳定性第六章线性反馈系统的时间域综合第一部分线性系统的时间域理论第二部分线性系统的复频率域理论第一章绪论线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制系统。控制理论发展概况：第一阶段20世纪40—60年代经典控制理论第二阶段20世纪60—70年代现代控制理论第三阶段20世纪70—大系统理论（广度）智能控制理论（深度）第一章绪论1.1系统控制理论的研究对象系统是系统控制理论的研究对象系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。系统具有如下3个基本特征:(1)整体性(2)抽象性作为系统控制理论的研究对象，系统常常抽去了具体系统的物理，自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。(3)相对性在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。所决定系统行为和功能由整体结构上的整体性.2.1动态系统：所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统。系统变量可区分为三类形式系统动态过程的数学描述),(:2.)(:1.输出变量组的关系输入外部描述黑箱描述状态方程和输出方程内部描述白箱描述动态系统的分类从机制的角度DEDSCVDS离散事件动态系统连续变量动态系统2.1.从特性的角度非线性系统线性系统2.1.属于无穷维系统分布参数系统属有穷维系统集中参数系统:2.:1.从作用时间类型的角度离散时间系统连续时间系统2.1.uxy输出变量组内部状态变量组输入变量组3.2.1.连续系统按其参数的空间分布类型本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。若表征系统的数学描述为L)()()(22112211uLcuLcucucL系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统④建立数学模型的途径：解析、辨识⑤系统建模的准则：折衷线性系统理论研究对象是(线性的)模型系统，不是物理系统。线性系统系统模型1.2线性系统理论的基本概貌线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科。主要内容:数学模型→分析理论→综合理论发展过程:经典线性系统理论→现代线性系统理论主要学派:状态空间法几何理论把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合代数理论把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题多变量频域方法二是多项式矩阵方法一是频域方法线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。第一部分:线性系统时间域理论第二章线性系统的状态空间描述2.1状态和状态空间线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法系统动态过程的两类数学描述2u1upu1y2yqynxxx,,,21(1)系统的外部描述外部描述常被称作为输出—输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:ubububyayayaynnnnn0)1(1)1(10)1(1)1(1)(复频率域描述即传递函数描述01110111)()()(asasasbsbsbsssgnnnnnuy(2)系统的内部描述状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征——状态方程和输出方程。(3)外部描述和内部描述的比较一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。2u1upu1y2yqynxxx,,,21状态和状态空间的定义状态变量组:状态：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组)(,,),(21txtxtxn所组成的一个列向量一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组)()()()(21txtxtxtxn状态空间：状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数几点解释（1）状态变量组对系统行为的完全表征性只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组)(,,),(00201txtxtxn和t≥t0各时刻的任意输入变量组)(,,),(21tututup那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定2u1upuqy2yqynxxx,,,21(2).状态变量组最小性的物理特征(3).状态变量组最小性的数学特征(4).状态变量组的不唯一性(5).系统任意两个状态变量组之间的关系(6)有穷维系统和无穷维系统(7)状态空间的属性状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn2.2线性系统的状态空间描述电路系统状态空间描述的列写示例)(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc1120eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。选择状态变量2.2线性系统的状态空间描述)(te1RLCcU2R2RULiCieRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1以上方程可表为形如DuCxyBuAxxuRRRxxRRRRRRRyuRRLRCRRxxRRLRRRRLRCRRRCRRxx212212121212212212121212112112121)()(1)()()()(1机电系统状态空间描述的列写示例)(teaRaLconstifFJ,aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001上式可表为形如DuCxyBuAxx连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构1u2upu1x2xnx1y2yqy动力学部件输出部件连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统DuCxyBuAxx线性时变系统uDxCyuBxAx)()()()(tttt连续时间线性系统的方块图)(tB)(tC)(tDxyux)(tAuDxCyuBxAx)()()()(tttt离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统)()()()()()1(kkkkkkDuCxyHuGxx传输矩阵阵输出矩阵阵输入矩阵阵系统矩阵阵::::DpqCnqHpnGnn离散时间线性时变系统)()()()()()()()()()1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGx状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性离散时间线性系统的方块图)(kH)(kC)(kD)1(kx)(ky)(ku)(kx)(kG单位延迟2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类线性系统和非线性系统设系统的状态空间描述为),(),(ttux,gyux,fx向量函数),(),(),(),(),(),(),(),(2121tgtgtgttftftftqnux,ux,ux,ux,gux,ux,ux,ux,f，若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统对于线性系统uDxCyuBxAx)()()()(tttt非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统时变系统和时不变系统若向量f,g不显含时间变量t,即),(),(uxgguxff该系统称为时不变系统若向量f,g显含时间变量t,即),,(),,(tuxggtuxff该系统称为时变系统连续时间系统和离散时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量2.4由系统输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其传递函数描述011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以导出其状态空间描述为1111RdRcRbRARxnnnnnducxybuAxx基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组。结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1)m=n,即系统为真情形ubxabbabbabbyaaaannnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210uxxubxbabxbabxbabyuxaxaxaxxxxxxxnnnnnnnnnnnn)()()(112111001021113221(2)