02--2012年全国高中数学联赛河北省预赛

2012年全国高中数学联赛河北省预赛高二年级组试题一、填空题(每小题8分，共64分)1．已知集合{|50,}AxxaaN，若5AZ，则a的最小值为．2．已知定义在R上的函数()fx满足(1)()fxfx，且1,10,()1,01,xfxx则((3.5))ff．3．ABC中，AB与BC的夹角为150，||2AC，则||AB的取值范围是．4．已知点,MN的坐标都满足不等式组0,0,26,312,xyxyxy(1,1)a，则MNa的取值范围是．5．函数32(0xyaa且1)a的图象恒过定点A，若点A在直线10xymn上，且,0mn，则3mn的最小值为．6．已知点P是直线l：40(0)kxyk上一动点，,PAPB是圆C：2220xyy的两条切线，,AB是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k．7．在三棱锥ABCD中，侧棱,,ABACAD两两垂直，,,ABCACDADB的面积分别为236,,222，则三棱锥ABCD的外接球的体积为．8．已知数列{}na满足：1am(m为正整数)，11,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时，若47a，则m的所有可能取值为．二、解答题(9、10、11、12小题各14分，l3、14小题各15分，共86分)9．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，ABC的外接圆半径3R，且满足2sintantancosABCC．(Ⅰ)求角B和边b的大小；(Ⅱ)求ABC面积的最大值．10．如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA平面ABC，三角形ABC是边长为2的等边三角形，M是1AA上的一点，14AA，11AM．P是棱BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱1CC到点M的最短路线长为32，设这条最短路线与1CC的交点为N．(Ⅰ)求证：1AB∥平面MNP；(Ⅱ)求平面MNP和平面ABC所成二面角(锐角)的正切值．11．设数列{}na的前n项和为nS，且满足：23S，*2()nnSnnanN．(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)求数列11,,321,,nnnaancn为奇数为偶数的前2n项和2nT．12．已知二次函数()fx的二次项系数为a，且不等式()2fxx的解集为(1,3)．(Ⅰ)若函数()6yfxa有且只有一个零点，求()fx的解析式；(Ⅱ)记()fx的最大值为()ha，求()ha的最小值．13．如图，在平面直角坐标系中，方程为220xyDxEyF的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．(Ⅰ)求证：0F；(Ⅱ)若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且0ABAD，求224DEF的值．14．已知正实数,xy，设axy，227bxxyy．(Ⅰ)当1y时，求ba的取值范围；(Ⅱ)若2ckxy，且对于任意的正数,xy，以,,abc为长度的线段恒能构成三角形，求k的取值范围．高三年级组试题一、填空题(每小题8分，共64分)1．若关于x的不等式21202xxmx的解集为{|02}xx，则m．2．2214xdx．3．在ABC中，角,,ABC的对边长分别为,,abc，22()Sabc，则tan2A．4．有红、黄、蓝三套卡片，每套五张，分别标有字母,,,,ABCDE，若从这15张卡片中，抽取5张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法有种．5．已知正项等比数列{}na满足：7652aaa，若存在两项,mnaa使得14mnaaa，则14mn的最小值为．6．已知函数3221()(1)3fxxaxbx，其中{1,2,3,4}a，{1,2,3}b，则函数()fx在R上是增函数的概率为．7．设椭圆1C：2211612xy与抛物线2C：28yx的一个交点为00(,)Pxy，定义：()fx02022,0,316,,2xxxxxx若直线ya与()fx交于,AB两点，且已知定点(2,0)N，则ABN的周长的取值范围是．8．已知动点(,)Pxy满足2222,0,(1)(1)1,xyxxxyy则动点(,)Pxy构成图形的面积为．二、解答题(9、10、11、12小题各14分，l3、14小题各15分，共86分)9．在ABC中，角,,ABC所对的边长分别是,,abc，已知222,,abc成等差数列．(Ⅰ)求B的取值范围；(Ⅱ)若关于B的方程3cossinBBm恰有一解，求实数m的值．10．已知数列{}na满足：114a，234a，112(2)nnnaaan，数列{}nb满足：114b，13(2)nnbbnn，数列{}nb的前n项和为nS．(Ⅰ)证明：数列{}nnba为等比数列；(Ⅱ)若11112b，求数列{}nb的前n项和nS．11．如图，设SABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点，过AK作平面与线段,SBSD分别交于,MN．(,MN可以是线段的端点)(Ⅰ)求直线AK与平面SBC所成角的正弦值；(Ⅱ)求证：SMKNSBCDVSMSKSNVSBSCSD，并求当M是SB中点时四棱锥SAMKN的体积．12．已知函数()lnfxxax，其中0a，()()()gxfxfx．(Ⅰ)若当1xe，函数()fx的最大值为4，求函数()fx的表达式；(Ⅱ)求a的取值范围，使函数()gx在区间(0,)上是单调函数．13．已知焦点在x轴上的椭圆E：22218xyb内含圆C：2283xy．圆C的切线l与椭圆E交于,AB两点，满足(OAOBO为坐标原点)．(Ⅰ)求2b的值；(Ⅱ)求||AB的取值范围．14．对正整数n，记()fn为数231nn的十进制表示的数码和．(Ⅰ)求()fn的最小值；(Ⅱ)当2101(knk是正整数)时，求()fn；(Ⅲ)是否存在一个正整数n，使得()2012?fn