《函数的奇偶性》教案

1《函数的奇偶性》教案课题函数的奇偶性课型新授课教学目标知识与技能目标：使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法，培养学生判断、推理的能力。过程与方法目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想情感、态度、价值观目标：通过数学的对称美来陶冶学生的情操.使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。教学重点用定义判断函数的奇偶性.教学难点弄清()()fxfx与的关系.教学手段多媒体辅助教学(展示较多的函数图像)【教学过程】：一、创设情境，引入新课师：在初中我们学过不少对称图形，大家一起来回忆一下初中主要学习了哪两种对称图形？生：1、轴对称图形（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）；2、中心对称图形（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）。师：观察下面几幅图片，说说它们有什么特征？（1）（2）师：数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，观察这些函数的图像，说说它们是轴对称图形还是中心对称图形或者两者都不是？Oxy①2)(xxf②Oxyxxf)(③Oxy||)(xxf2生：图像①③⑥是以y轴为对称轴的轴对称图形；图像②⑤⑥是以坐标原点为对称点的中心对称图形。师：这节课我们就来学习与函数图像对称有关的性质——函数的奇偶性二、师生互动，探索新知任务一偶函数活动1：观察函数2()fxx的图象，回答下列问题：（1）这条抛物线的对称轴是哪条直线？（2）用垂直于对称轴的直线截抛物线，你有什么发现？（3）对称轴两侧对应点的坐标有什么关系？发现：如果函数xfy图象关于y轴对称，那么①其图象上的任意一点00,xfxADx定义域关于y轴对称的点00,-xfxA一定也在这个图象上；②由于A是函数图象上的点，所以它的坐标也可以写成00,xfx，因此，00xfxf；③由于点00,xfx与00,xfx总是同时存在于函数的图象上，所以00xx与也同时存在于定义域D内，因此，函数xfy的定义域D关于原点O对称。活动2：给出偶函数的定义（板书）一般地，如果函数xfy的定义域关于原点O对称，并且对定义域Oxy④Oxy||1)(xxfOxy⑤3)(xxfx1yxy⑥2)(xxf3内的任意一个值xfxfx,,我们就称函数xfy为偶函数。师：在这个定义中，它强调了任意x，也就是说对于定义域中的任何一个x都有这样的性质。观察下面的函数2,1,12xxxf的图象关于y轴对称吗？如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该有什么样的特点？生：如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该关于原点对称。师：这是对于偶函数必须强调的一点1、定义域关于原点对称师：在这个前提之下，还必须具备什么条件？2、对定义域内的任意一个值xfxfx,活动3：讨论判断函数为偶函数的方法（师引导，学生集体讨论归纳）1、图象法图象关于y轴对称偶函数2、定义法⑴定义域关于原点对称⑵对定义域内的任意一个值xfxfx,任务二奇函数活动1：观察函数3xy的图象，回答下列问题：Oxy3)(xxf4⑴对于图象上任意一点，与它关于原点对称的点在这个图象上吗？它应该落在哪边？⑵现在看看这两点的坐标有什么关系？（横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数）师：由这个特例，我们可以分析出函数xfy的图象关于坐标原点O成中心对称，那么它的定义域要关于原点对称，且对定义域内的任意一个值xfxfx,活动2:给出奇函数的定义(板书)奇函数定义：一般地，如果函数xfy的定义域关于原点O对称，并且对定义域内的任意一个值xfxfx,,我们就称函数xfy为奇函数。师：现在我们来看看这个函数还是不是奇函数？03xxxf?1x?0x?11x?2,11,2?活动3：讨论判断函数为奇函数的方法（师引导，学生集体讨论归纳）1、图象法图象关于坐标原点成中心对称奇函数2、定义法⑴定义域关于原点对称⑵对定义域内的任意一个值xfxfx,任务三巩固提高，熟练技能师：刚才我们学习了偶函数、奇函数的概念及判别方法，看下面一题活动1：根据下列函数图象判断其奇偶性。偶函数奇函数5师：根据图象来判断函数的奇偶性比较的简单，也是大家首先要想到的方法，运用了数学中一个很重要的数学思想——“数形结合”。师：再看这样一个问题：活动2判断函数4xxf的奇偶性(师示范)解：∵函数xf的定义域为R∴定义域关于原点对称,对于定义域内的任意一个值x，都有xfxxxf44∴函数xf是偶函数。变形：4xxf,3,1x解：∵函数xf的定义域为3,1∴定义域不关于原点对称,∴函数xf是非奇非偶函数。思考：将题目哪里改一下就成偶函数呢？师：从函数的角度看有奇函数、偶函数、非奇非偶函数，那同学们想一想有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？课后找一找活动3判断下列函数的奇偶性⑴3xxf(学生口述)⑵xxxf23(学生自己动手做做)强调：前后两个x都必须转化为“x”来计算。变形：123xxxf⑶332xxxf⑷21xy三、课堂小结本节课学习了什么？四、课后拓展1、如果定义在区间5,3a上的函数xf是奇函数，则a。2、判断函数0xf的奇偶性。67[教学说明：用多媒体展示活动1、2的图像，学生通过画图从形的角度认识两种函数各自的特征：活动1的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，活动2的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形]活动3：活动1给出的函数：2()fxx，找出当11xx与时函数图像上的点，看有什么规律？师生共同完成：当x取1与1（两个互为相反数）时，则对应的函数值(1)(1)ff与都取1，即：(1)(1)ff。同理得：(2)(2)ff。教师提问学生：自变量代入两个互为相反的数：xx与，得到的对应函数值()()fxfx与是什么关系？学生：222()(),()fxxxfxx，()()fxfx与的值相等，即：()()fxfx。活动4：活动2给出的函数：3()fxx，找出当11xx与时函数图像上的点，看有什么规律？师生共同完成：当x取1与1（两个互为相反数）时，则对应的函数值(1)(1)ff与分别都取1与1即：(1)(1)ff。同理得：(2)(2)ff。教师提问学生：自变量代入两个互为相反的数：xx与，得到的对应函数值()()fxfx与是什么关系？学生：333()(),()fxxxfxx，()()fxfx与的值相反，即：()()fxfx。[活动3、4的设计意图：让学生计算相应的函数值，引导学生发现规律，总结规律。然后学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特性。通过代入特殊值让学生认识两个函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等的关系，从而自然引入奇、偶函数的概念图像性质。]引入：概念1：如果对于函数()fx的定义域（对应的区间关于原点对称）内的任意一个x，都有()()fxfx，则称这个函数为偶函数。概念2：如果对于函数()fx的定义域（对应的区间关于原点对称）内的任意一个x，都有()()fxfx，则称这个函数为奇函数。[教学说明：概念1、2揭示函数是否是奇、偶函数必须具备两个条件：①定义域对应的区间必须关于坐标原点对称的；②若()()fxfx,则()fx为奇函数,若()()fxfx,则8()fx为偶函数。]从奇函数和偶函数图象的对称性得到性质：如果函数()yfx的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则称函数()yfx是奇函数；反之若函数()yfx是奇函数，则它的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形．2、如果函数()yfx的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则称函数()yfx是偶函数；反之若函数()yfx是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．3、如果函数()yfx的图象既不是以坐标原点为对称中心的中心对称图形也不是以y轴为对称轴的轴对称图形，则称函数()yfx既不是奇函数也不是偶函数（即是非奇非偶函数）；反之亦然。[教学说明：职校生的推理能力较弱，从观察具体奇、偶函数的图像推出奇、偶函数的性质]三、巩固提高,熟练技能例:判断下列函数不是是奇、偶函数:（1）3()1fxx;（2）2()2fxx；（3）26(),fxxx[2,4]x,(4)2()fxxx.[分析]:奇、偶函数的性质分别为:()()fxfx、()()fxfx，这提示我们验证函数奇偶性的步骤：(1)看函数定义域对应的区间是否关于坐标原点对称（2）先求出()fx的值；(3)看()()fxfx与间的关系；(4)判断:若()()fxfx,则()fx为奇函数,若()()fxfx,则()fx为偶函数.解:(师生共同完成)(1)因为函数3()1fxx的定义域是R(关于原点对称)，又因为3()()1fxx31x，()(),()()fxfxfxfx,所以3()1fxx不是奇函数也不是偶函数.(学生尝试完成)（2）因为函数2()2fxx的定义域是R(关于原点对称),又因为2()()2fxx22x,()()fxfx，所以2()2fxx是偶函数.(师生共同完成)(3)因为函数26()fxxx的定义域是[2,4](关于原点不对称)，所以926(),fxxx[2,4]x是非奇非偶函数.(学生完成)(4)[教学说明：（1）、（2）、（4）题让学生先求出()fx的值，养成学习的良好习惯：解题尝试一步一步去做，（3）用说明的方法，点到即止。]学生继续完成书本P100：练习A3（1）、（2），4（1）、（2）四、拓展延伸[设计意图：让学生尝试灵活运用两种方法判断函数的奇偶性，反过来知道函数的奇偶性，让学生画出对称的另一部分图像]问题1：函数21yx的图象如下图，①判断函数的对称性；②判断函数21yx是偶函数还是奇函数．解：①函数21yx的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；②函数21yx是偶函数．问题2：函数21yx，[1,)x的图象如下图，①判断函数的对称性；②判断函数21yx是偶函数还是奇函数．解：①函数21yx，[1,)x的图象不是以y轴为对称轴的轴对称图形；②函数21yx，[1,)x不是偶函数。问题3：函数()2fxx的图象如下图所示，①判断函数图像的对称性;②判断函数()2fxx的10奇偶性。①像的对称性:函数()2fxx的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；②函数的奇偶性:函数()2fxx是奇函数．问题4：判断函数2()fxx的奇偶性，函数2()fxx在y轴右边部分的图象如下图，用描点法画出函数另一部分的图象[教学说明:问题3函数的图像是一条直线,本来只需要描两个点,要求多描一个点,对称性的效果更加直观,如果学生难以判断对称性时,就可以提醒学生把图形绕原点旋转180度,看是否重叠就可以,另外为下一步的知识的拓展延伸作准备。通过四个例子，结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识]五、方法、规律总结判断或证明函数奇偶性的常用方法1、“定义域”条件法：若函数定义域不是关于坐标原点对称的，则函数是非奇非偶函数；若函数的定义域是关于坐标原点对称的，再用图像法或验证法.2、图像法.3、验证法：(1)若()()fxfx,则函数为奇函数;(2)若()()fxfx,则函数为偶函数.六、作业：课本P122：二、填空题1（3）、（4）、（5）；课本P123：三、解答题1，4。七、教学反思11一、这节课成功的经验和感受：