24.4切线的判定

24.4直线与圆的位置关系（2）切线的判定下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2、砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？情景导入如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；还有其它方法吗？(d=r)思考：操作过圆O内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？rlOA动手试一试！经过半径的外端点并且垂于这条半径的直线是圆的切线。条件：(1)经过半径的外端；圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径。●O┐Al∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线符号语言表达说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：定理辨析如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线。——切线判定定理(d=r)归纳：判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA4.和圆有一个公共点的直线是圆的切线．（）5.以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．（）6.过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线（）×√√例1直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连接OC∵OA=OB,CA=CB∴△OAB是等腰三角形,OC是底边AB上的中线∴OC⊥AB，且点C在圆上∴AB是⊙O的切线OCBA这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证垂直”注意：使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点。练习1、如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？BACO解：∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC=450∴∠BAC=900即AB⊥AC∵AB是⊙O的直径∴AC是⊙O的切线变式练习练习2、如图:线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？AOBCD解：BD是⊙O的切线连接OD∵OD=OA∴∠ODA=∠BAD=∠B=300∴∠BOD=600∴∠ODB=900即：OD⊥DB且点O在圆上∴BD是⊙O的切线变式练习证明：连结OP。∵AB为直径∴OB=OA，BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP，且点P在圆上∴PE为⊙0的切线。练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，交边BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP变式练习例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。与例1比较，你发现了什么？已知如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。AC与⊙O相切吗？为什么?E解：AC与⊙O相切连接OD,作OE⊥AC∴∠OEC=900∵AB是⊙O的切线∴OD⊥AB,∴∠ODB=900=∠OEC∵AB=AC∴∠B=∠C∵O是BC的中点∴OB=OC∴△OBD≌△OCE∴OD=OE∴AC与⊙O相切无交点，作垂直，证半径小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：知交点，连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点，作垂直,证半径。OBACOABCED例3如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OA,∴∠CAO＝∠ACO∴∠CAD＝∠CAO,故AC平分∠DAB．圆心与切点的连线是常添的辅助线！1，如图：AC是⊙O的切线，∠B=600。求∠CAD=。BACODCAOB2，如图：以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是切点，求证：C是AB的中点。课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。1、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD求证：连结E、F的线段是直径。证明：连结EO并延长∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，∵AB∥CD，∴OE⊥CD．∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F∴EF为⊙O直径2、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．•证明：连结OD．•∵OA=OD，∴∠1=∠2，•∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4•∴∠3=∠4•在△OBC和△ODC中，•OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，•∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC•∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．•∴DC是⊙O的切线．3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，•求证：CD与小圆相切证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F•∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．•又∵AB=CD，•∴OF=OE，又OF⊥CD，•∴CD与小圆O相切．4、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点求证：CE=CF•证明：连结OE•∵BE=BO∴∠3=∠B•∵CE切⊙O于E•∴OE⊥CE∠2+∠3=90°•∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°•∴∠2=∠4•∵∠1=∠4∴∠1=∠2•∴CE=CF作业：1、阅读教材P35-362、P36练习第1、2、3题3、选做基础训练24.4部分习题相信自己再见！