2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线方程教学案含解析理46

第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程[考纲传真]1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用[常用结论]牢记倾斜角α与斜率k的关系(1)当α∈0，π2且由0增大到π2α≠π2时，k的值由0增大到＋∞.(2)当α∈π2，π时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×(5)√2．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4A[由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.]3．直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°B[设直线的倾斜角为α，则tanα＝3，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.]4．(教材改编)经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．x＋y＝2B．x＋y＝1C．x＝1或y＝1D．x＋y＝2或x＝yD[若直线过原点，则直线为y＝x，符合题意，若直线不过原点，设直线为xm＋ym＝1，代入点(1,1)，解得m＝2，直线方程整理得x＋y－2＝0，故选D.]5．如果A·C0且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]直线的倾斜角和斜率1．(2019·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，πD.π4，π2∪3π4，πB[由直线方程可得该直线的斜率为－1a2＋1，又－1≤－1a2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是3π4，π.]2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________．4[因为kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.]3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．][规律方法]直线倾斜角的范围是[0，，根据斜率求倾斜角的范围时，要分两种情况讨论.易错警示：由直线的斜率k求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性.直线的方程【例1】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解](1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0≤α＜π)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知横截距与纵截距都不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.[规律方法]在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0[设所求直线的方程为xa＋yb＝1.∵A(－2,2)在直线上，∴－2a＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)a－b＝1，ab＝2，或(2)a－b＝－1，ab＝－2.由(1)解得a＝2，b＝1，或a＝－1，b＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x2＋y1＝1或x－1＋y－2＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．]直线方程的综合应用【例2】过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]设直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1.(1)4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a＋1b＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.[规律方法]与直线方程有关的最值问题的解题思路借助直线方程，用y表示x或用x表示y；将问题转化成关于x或y的函数；,利用函数的单调性或基本不等式求最值.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．[解]由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，四边形的面积最小，故实数a的值为12.自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________