2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（二十） Word版含解析

课下能力提升(二十)[学业水平达标练]题组1平面向量数量积的坐标运算1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－12C.12D．12．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为()A.3B．3C．－3D．－33．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝()A.32，12B.12，32C.14，334D．(1，0)题组2向量模的问题4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．42B．25C．8D．825．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．6．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为________．题组3向量的夹角与垂直问题7．设向量a＝(1，0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－739．以原点O和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.[能力提升综合练]A.32B．－32C．4D．－42．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－16654．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．7．已知O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案[学业水平达标练]1.解析：选Da·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.2.解析：选D向量a在b方向上的投影为a·b|b|＝－62＝－3.选D.3.解析：选B法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝3x＋y＝3.由x2＋y2＝1，3x＋y＝3y≠0，，解得x＝12，y＝32，即b＝12，32.故选B.法二：利用排除法．D中，y＝0，∴D不符合题意；C中，向量14，334不是单位向量，∴C不符合题意；A中，向量32，12使得a·b＝2，∴A不符合题意．故选B.4.解析：选D易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝82＋（－8）2＝82.5.解析：a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝5.答案：56.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A(2，0)，B(1，h)．设P(0，y)(0≤y≤h)，则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，∴||＝25＋（3h－4y）2≥25＝5.故||的最小值为5.答案：57.解析：选C由题意知|a|＝12＋02＝1，|b|＝122＋122＝22，a·b＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a－b与b垂直．8.解析：选D设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，由(c＋a)∥b，得－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，故m＝－79，n＝－73.9.解：设点B坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．∵⊥，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0.又∵||＝||，∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，即10x＋4y＝29.由x2＋y2－5x－2y＝0，10x＋4y＝29，解得x＝72，y＝－32，或x＝32，y＝72.∴点B的坐标为72，－32或32，72.＝－32，－72或－72，32.10.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝25，可得1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4，或x＝－2，y＝－4.故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×54＝0，整理得a·b＝－52，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.[能力提升综合练]1.解得m＝4.2.解析：选C设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP―→·BP―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．3.解析：选C设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以8＋x＝3，6＋y＝18，解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5，12)，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝1665.4.解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝5.答案：55.解析：依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝3π4，所以＝－22，22.答案：－22，226.解析：因为a与b的夹角为锐角，所以0a·b|a||b|1，即03λ2＋4λ5λ2×9λ2＋41，解得λ－43或0λ13或λ13.答案：－∞，－43∪0，13∪13，＋∞7.解：假设存在点M，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴存在M(2，1)或M225，115满足题意．