新课标高二数学理同步测试（2）（选修2-1第二章2.1-2.3）

普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（2）—（2－1第二章2.1－2.3）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）2．已知椭圆222253nymx和双曲线222232nymx＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x＝±y215B．y＝±x215C．x＝±y43D．y＝±x433．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11等于（）A．2aB．a21C．4aD．a44．若椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（）A．1716B．17174C．54D．5525．椭圆31222yx=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．±43B．±23C．±22D．±436．设F1和F2为双曲线42xy2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（）A．1B．25C．2D．57．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．221eeB．42221eeC．2221eeD．2112221ee8．已知方程1||2mx+my22=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m2B．1m2C．m－1或1m2D．m－1或1m239．已知双曲线22ax－22by=1和椭圆22mx+22by=1(a0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形10．椭圆13422yx上有n个不同的点:P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为F.数列｛|PnF|｝是公差大于1001的等差数列,则n的最大值是（）A．198B．199C．200D．201二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知点（－2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=_____．12．设圆过双曲线16922yx=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．13．双曲线16922yx＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．14．若A点坐标为（1，1），F1是5x2＋9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|＋|PF1|的最小值是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知F1、F2为双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．16．（12分）已知椭圆)0(12222babyax的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，向量AB与OM是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，1F、2F分别是左、右焦点，求∠21QFF的取值范围；17．（12分）如图椭圆12222byax(ab0)的上顶点为A，左顶点为B,F为右焦点,过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点.作平行四边形OCED,E恰在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为6,求椭圆方程．18．（12分）双曲线12222byax(a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥54c.求双曲线的离心率e的取值范围．图xyDEOBAFC19．（14分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程20．（14分）已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=320，椭圆C2的方程为22ax+22by=1（ab0），C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．参考答案一、1．D；解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：xbaybyax22222,111.图因为a＞b＞0，因此，ab11＞0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项.解析二：将方程ax+by2=0中的y换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2．D；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点（2253nm，0），双曲线焦点（2232nm，0），∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2又∵双曲线渐近线为y=±||2||6mn·x∴代入m2=8n2，|m|=22|n|，得y=±43x．3．C；解析：抛物线y=ax2的标准式为x2＝a1y，∴焦点F（0，a41）.取特殊情况，即直线PQ平行x轴，则p=q.如图，∵PF＝PM，∴p＝a21，故apppqp421111．4．D；5．A；解析：由条件可得F1（－3，0），PF1的中点在y轴上，∴P坐标（3，y0），又P在31222yx=1的椭圆上得y0=±23，∴M的坐标（0，±43），故选A.评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.6．A；解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P（x，142x），由已知F1P⊥F2P，有151451422xxxx，即1145221,52422xSx，因此选A.评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力.7．D；8．D；图9．B；10．C；二、11．4；解析：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标是（2p，0），由两点间距离公式，得223)22(p=5．解得p=4.12．316；解析：如图8—15所示，设圆心P（x0，y0），则|x0|＝2352ac＝4，代入16922yx＝1，得y02＝9716，∴|OP|＝3162020yx．评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想.13．516；解析：设|PF1|＝M，|PF2|＝n（m＞n），a＝3、b＝4、c＝5，∴m－n＝６m2＋n2＝4c2，m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64，mn＝32.又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝516．14．26；三、15．解：（1）设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则22022byac=1．解得y0=±ab2，∴|PF2|=ab2，在直角三角形PF2F1中，∠PF1F2=30°解法一：|F1F2|=3|PF2|，即2c=ab23，将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2解法二：|PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=2a.∵|PF2|=ab2，∴2a=ab2，即b2=2a2，∴2ab故所求双曲线的渐近线方程为y=±2x．16．解：（1）∵abycxcFMM21,),0,(则，∴acbkOM2．∵ABOMabkAB与,是共线向量，∴abacb2，∴b=c,故22e．（2）设1122121212,,,2,2,FQrFQrFQFrraFFc22222221212122121212124()24cos11022()2rrcrrrrcaarrrrrrrr当且仅当21rr时，cosθ=0，∴θ]2,0[．说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题．求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题．17．解：(Ⅰ)∵焦点为F(c,0),AB斜率为ab,故CD方程为y=ab(x－c).于椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2=0.∵CD的中点为G(abcc2,2),点E(c,－abc)在椭圆上,∴将E(c,－abc)代入椭圆方程并整理得2c2=a2,∴e=22ac.(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD的方程为y=22(x－c),b=c,a=2c.与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2=0.∵平行四边形OCED的面积为S=c|yC－yD|=22cDCDCxxxx42）（=22c6262222ccc,∴c=2,a=2,b=2.故椭圆方程为12422yx18．解：直线l的方程为bx+ay－ab=0.由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线l的距离d1=22)1(baab．同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2=22)1(baab.s=d1+d2=22baab=cab2.由s≥54c,得cab2≥54c,即5a22ac≥2c2.于是得512e≥2e2.即4e2－25e+25≤0.解不等式,得45≤e2≤5.由于e10,所以e的取值范围是525e.19．解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.设曲线段C的方程为，y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0）其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．所以M（2p，0），N（2p，0）由|AM|＝17，|AN|＝3得：（xA＋2p）2＋2pxA＝17①（xA2p）2＋2pxA＝9②由①②两式联立解得xA＝p4，再将其代入①式并由p0，解得14Axp或22Axp因为△AMN是锐角三角形，所以2p＞xA，故舍去22Axp所以p＝4，xA＝1．由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|2p＝4．综上得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点.作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|＝22||||22DAAM由于△AMN为锐角三角形，故有xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋22||||AEAN＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6．设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝故曲线段C的方程为y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．图评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.20．由e=22，得ac=22，a2=2c2,b2=c2．设椭圆方程为222bx+22by=1．又设A(x1