江西省师大附中2012届高三下学期开学考试数学（理）试题

第4题第8题江西师大附中高三数学(理)开学考试试卷命题人：张和良审题人：蔡卫强2012.1.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z满足izi6)33(（i是虚数单位），则z＝（）A．i2323B．3322iC．3322iD．3322i2．平面α⊥平面β,α∩β＝l,点P∈α,点Q∈l,那么PQ⊥l是PQ⊥β的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10:S5＝1:2，则S15:S5＝()A．1:2B．1:3C．2:3D．3:44．如图给出的是计算201614121的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i10B．i10C．i20D．i205．将函数)42sin(4)(xxf的图象向右平移个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21倍,所得图象关于直线4x对称,则的最小正值为()A.81B.83C.43D.216．若函数fx在R上可导，且2/()2(2)fxxfxm()mR，则()A.(0)(5)ffB．(0)(5)ffC．(0)(5)ffD．无法确定7．若点P是ABC的外心，且0PCPBPA，0120C，则实数的值为()A．21B．21C．1D．18．由曲线2yx和直线20,1,,0,1xxytt所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为()A.23B.13C.12D.149．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆12222byax(ab0)的右焦点交椭圆于A．B两点,P为直线2axc上任意一点,则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能10．已知21()23log3xfxx,实数a、b、c满足()()()0fafbfc,(0abc)若实数0x是函数y=()fx的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是（）A.0xaB.0xbC.0xcD.0xc二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．设0,0,24ababab，则ab的最小值为．12．已知变量,xy满足约束条件14,22xyxy，若目标函数zaxy（其中0a）仅在点3,1处取得最大值，则a的取值范围是．13．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．则它的体积为．14．对于定义在R上的函数f(x),有下述命题:①若f(x)为奇函数,则1fx的图象关于点A(1,0)对称;②若对x∈R,有1fx＝1fx,则f(x)的图象关于直线x＝1对称;③若函数1fx的图象关于直线x＝1对称,则f(x)为偶函数;④函数1fx与函数1fx的图象关于直线x＝1对称.其中正确命题的序号是______________.15．（不等式选做题）若不等式|1|axyz，对满足2221xyz的一切实数,,xyz恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本题满分12分）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.17.（本题满分12分）设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，若向量(1cos(),cos)2ABmAB，5(,cos)82ABn且98mn．（Ⅰ）求tantanAB的值；（Ⅱ）求222sinabCabc的最大值．18．（本题满分12分）已知斜三棱柱111ABCABC的底面是直角三角形，90ACB，侧棱与底面所成角为，点1B在底面上射影D落在BC上．（Ⅰ）求证：AC平面11BBCC；（Ⅱ）若点D恰为BC中点，且11ABBC，求的大小；（III）若1cos3，且当1ACBCAAa时，求二面角1CABC的大小．正视图侧视图俯视图19．（本题满分12分）已知平面上一定点C（4，0）和一定直线Pxl,1:为该平面上一动点，作lPQ，垂足为Q，且（.0)2()2PQPCPQPC（Ⅰ）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（Ⅱ）设直线1:kxyl与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由20．（本题满分13分）已知函数xaxxxfln)(2，.aR（Ⅰ）若函数)(xf在2,1上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）令2)()(xxfxg，是否存在实数a，当x],0(e（e是自然常数）时，函数)(xg的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（III）当x],0(e时，证明：xxxxeln)1(252221．（本题满分14分）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅲ）证明存在kN，使得11nknkaaaa≤对任意nN均成立．江西师大附中高三(理)数学答案2012.1.30一、选择题ACDABCDDCD二、填空题11．812．(1，+∞)13．7214．①③15．(,13][13,).三、解答题16．（本题满分12分）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.解：设点P的坐标为（x，y），由题设有2||||PNPM，即2222)1(2)1(yxyx．整理得x2+y2－6x+1=0．①因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±33，直线PM的方程为y=±33（x＋1）．②将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋3，x＝2－3．代入②式得点P的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．∴直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．17.（本题满分12分）设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，若向量(1cos(),cos)2ABmAB，5(,cos)82ABn且98mn．（Ⅰ）求tantanAB的值；（Ⅱ）求222sinabCabc的最大值．解：（Ⅰ）由98mn，得259[1cos()cos828ABAB即51cos()9[1cos()828ABAB,亦即4cos()5cos()ABAB所以1tantan9AB（Ⅱ）因222sinsin1tan2cos2abCabCCabcabC,而tantan993tan()(tantan)2tantan1tantan884ABABABABAB,所以，tan()AB有最小值34.当1tantan3AB时，取得最小值.又tantan()CAB，则tanC有最大值34.故222sinabCabc的最大值为38.18．（本题满分12分）已知斜三棱柱111ABCABC的底面是直角三角形，90ACB，侧棱与底面所成角为，点1B在底面上射影D落在BC上．（Ⅰ）求证：AC平面11BBCC；（Ⅱ）若点D恰为BC中点，且11ABBC，求的大小；（III）若1cos3，且当1ACBCAAa时，求二面角1CABC的大小．解：（I）∵B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴1BDAC又∵BCAC，1BDBCD，∴AC⊥平面11BBCC（II）1111111111ABBCBCABCACBCBCBCBCABCABAC平面平面与相交∴四边形11BBCC为菱形，又∵D为BC的中点，BDABC平面∴1BBC为侧棱和底面所成的角，∴11cos2BBC∴160BBC，即侧棱与底面所成角60．（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则A（a,0,0），B(0,a,0)，123(0,,)33aCa，平面ABC的法向量1(0,0,1)n，设平面ABC1的法向量为2(,,)xyzn，由22100ABBCnn，即0423033xyyx，222(,,1)22n122cos,2nn，12,45nn∵二面角1CABC大小是锐二面角，∴二面角1CABC的大小是45.19．（本题满分12分）已知平面上一定点C（4，0）和一定直线Pxl,1:为该平面上一动点，作lPQ，垂足为Q，且（.0)2()2PQPCPQPC（Ⅰ）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（Ⅱ）设直线1:kxyl与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由解：（Ⅰ）设P的坐标为),(yx，由0)2()2(PQPCPQPC得0||4||22PQPC∴（,0)1(4)4222xyx化简得.112422yx∴P点在双曲线上，其方程为.112422yx（Ⅱ）设A、B点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，由1124122yxkxy得,0132)3(22kxxk221221313,32kxxkkxx，∵AB与双曲线交于两点，∴△0，即,0)13)(3(4422kk解得.213213k∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴1BDADkk，即1222211xyxy∴,0)3)(3(0)2)(2(21212121xxkxkxxxyy∴21212(1)3()90kxxkxx∴222132(1)()39033kkkkk,144k1313(,)22即存在144k符合要求.20．（本题满分13分）已知函数xaxxxfln)(2，.aR（Ⅰ）若函数)(xf在2,1上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）令2)()(xxfxg，是否存在实数a，当x],0(e（e是自然常数）时，函数)(xg的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（III）当x],0(e时，证明：xxxxeln)1(2522解：（Ⅰ）01212)(2'xaxxxaxxf在2,1上恒成立，令12)(2axxxh，有0)2(0)1(hh得,271aa得27a.（Ⅱ）假设存在实数a，使xaxxgln)(（],0(ex）有最小值3，xaxg1)('xax1①当0a时，)(xg在],0(e上单调递减，31)()(minaeegxg，ea4（舍去），②当ea10时，)(xg在)1,0(a上单调递减，在],1(ea上单调递增3ln1)1()(minaagxg，2ea，满足条件.③当ea1时，)(xg在],0(e上单调递减，31)()(minaeegxg，ea4（舍去），综上，存在实数2ea，使得当],0(ex时)(xg有最小值3.（III）令xxexFln)(2，由（2）知，3)(minxF.令25ln)(xxx，2'ln1)(xxx，当ex0时，0)('x，()hx在],0(e上单调递增∴32521251)()(maxeex,25lnln2xxxxe即xxe2522xxln)