高中数学双曲线例题

ABCPOxy例题定义类1，已知12(5,0),(5,0)FF，一曲线上的动点P到21,FF距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||aFF，二要注意是一支还是两支12||||610PFPF，P的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922xyx2双曲线的渐近线为xy23，则离心率为点拨：当焦点在x轴上时，23ab，213e；当焦点在y轴上时，23ba，313e3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=136012222byax上，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a=680,c=1020，13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为用y=－x代入上式，得5680x，∵|PB||PA|,10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m10680处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”4设P为双曲线11222yx上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．36B．12C．312D．24解析：2:3||:||,13,12,121PFPFcba由①又,22||||21aPFPF②由①、②解得.4||,6||21PFPF,52||,52||||2212221FFPFPF为21FPF直角三角形，.124621||||212121PFPFSFPF故选B。5如图2所示，F为双曲线1169:22yxC的左焦点，双曲线C上的点iP与3,2,17iPi关于y轴对称，则FPFPFPFPFPFP654321的值是（）A．9B．16C．18D．27[解析]FPFP61FPFP52643FPFP，选C6.P是双曲线)0,0(12222babyax左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则21FPF的内切圆的圆心的横坐标为（）（A）a（B）b（C）c（D）cba［解析］设21FPF的内切圆的圆心的横坐标为0x，由圆的切线性质知，axacxxcPFPF000122|)(|||7，若椭圆0122nmnymx与双曲线221xyab)0(ba有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A.amB.am21C.22amD.am【解析】椭圆的长半轴为1221mPFPFm，双曲线的实半轴为1222aPFPFa，2212121244PFPFmaPFPFma：，故选A.求双曲线的标准方程1已知双曲线C与双曲线162x－42y=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于cba,,的方程组[解析]解法一：设双曲线方程为22ax－22by=1.由题意易求c=25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b=1.又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y=1.解法二：设双曲线方程为kx162－ky42＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x－82y＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；[解析]设双曲线方程为224yx，当0时，化为1422yx，2010452，当0时，化为1422yy，2010452，综上，双曲线方程为221205xy或120522xy3.以抛物线xy382的焦点F为右焦点,且两条渐近线是03yx的双曲线方程为___________________.[解析]抛物线xy382的焦点F为)0,32(，设双曲线方程为223yx，9)32(342，双曲线方程为13922yx4.已知点(3,0)M，(3,0)N，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A．221(1)8yxxB．221(1)8yxxC．1822yx（x0）D．221(1)10yxx[解析]2BNBMPNPM，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B与渐近线有关的问题1若双曲线)0,0(12222babyax的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通cba,,的关系[解析]焦点到渐近线的距离等于实轴长，故ab2，5122222abace,所以5e【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过cba,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2.双曲线22149xy的渐近线方程是()A.23yxB.49yxC.32yxD.94yx[解析]选C3.焦点为（0，6），且与双曲线1222yx有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．1241222yxB．1241222xyC．1122422xyD．1122422yx[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B4，过点（1，3）且渐近线为xy21的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为2214xyk点（1，3）代入：135944k.代入（1）：22223541443535xyxy即为所求.【评注】在双曲线22221xyab中，令222200xyxyabab即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222xykab，而无须考虑其实、虚轴的位置.5设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为2221xya，直线CD：y=m.代入（1）：22xxm.故有：2222,,,CxmmDxmm.取双曲线右顶点,0Ba.那么：2222,,,BCxmamBDxmam22220,BCBDaammBCBD.即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.几何1设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为（）A．63B．12C.123D．24【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,23,13abc.设；12123,2.22,2.PFrPFrPFPFar于是2221212126,4.52PFPFPFPFFF，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.∴121211641222PFFSPFPF.选B.XOYCDABXYOF1F2P2r求弦1双曲线122yx的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.12xyB.22xyC.32xyD.32xy【解析】设弦的两端分别为1,12,2,AxyBxy.则有：222222111212121222121222101xyyyxxxxyyxxyyxy.∵弦中点为（2，1），∴121242xxyy.故直线的斜率121212122yyxxkxxyy.则所求直线方程为：12223yxyx，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2在双曲线1222yx上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由222221221224302221yxxxxxyx这里16240，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12xx时才可能求出k=2.若12120xxy，必有y.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.换远（压轴题）1如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点，已知1||||FQPQ，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设FAFB，当),6[时，求直线m的斜率k的取值范围.【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（Ⅱ）中，直线m的斜率k是主要变量，其它包括λ都是辅助变量.斜率k的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：22221xyab.其左焦点为F（-c。0）；左准线：2axc.AyxOMFPQBml由||1PQ，得P（2ac，1）；由222||111.1abFQcbcccFP的中点为221,2caMc.代入双曲线方程：222221144cacac2222224caacca2222422caacbac根据（1）与（2）222,12acabcc.所求双曲线方程为222xy.（Ⅱ）设直线m的参数方程为：2cossinxtyt.代入222xy得：22cossin2cos24cos203tttt当22cos2016cos82cos180时，，方程（3）总有相异二实根，设为1212124coscos2.42cos2tttttt，那么.已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，∴FBFA与同向，210tFBtFA故，.于是：22212212112121212tttttttttttt.注意到1在),6[上是增函数，221212121214926566tttttttt（4）代入（5）：22224cos264948cos492cos150cos49cos2cos22250111sectan494977kk或∵双曲线222xy的渐近线斜率为1，故直线m与双曲线