数轴上点的运动规律

1数轴上“点”的运动规律在数轴上，A点表示的数是a，B点表示的数是b，显然这两个数里面ab，A、B两点之间的距离我们可以用ab来表示。（图1）如果我们换个位置，B在左边，A在右边，就会变成下面这样：（图2）此时ba，A、B两点之间的距离，我们可以用ba来表示。也就是说，在数轴上两点之间的距离，其实就是两个数的差，说具体一点，就是用较大的数减去较小的数，就等于两个点之间的距离。由于数轴上的点从左到右越来越大，所以较大的数在右边，较小的数在左边。我们在计算数轴上两点之间的距离时，对于大部分初学者，可以先这样问问自己：①这两个点，哪个表示的是大数？哪个表示的是小数？②我要用哪个数减去哪个数？（思考题）参考图1，若A点表示的数是ba2，B点表示的数是ab2，那么A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）参考图2，若A点表示的数是ba2，B点表示的数是ab2，那么A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）【例题1】A、B两地有一条长度是300km的公路，甲车从A地出发开往B地，速度为90km/h，与此同时，乙车从B地出发开往A地，速度为60km/h。（1）问：甲乙两车出发几小时后相遇？（2）问：出发几小时后，两车相距50千米？（变形1）如图所示，数轴上A、B两点分别表示a、b两个数，并且0|8|)4(2ba，现有一点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒4个单位的速度向左移动。（1）_____________,_______,之间的距离是与BAba个单位长度。（2）问：几秒后，P、Q两个点重合？（3）问：几秒后，P、Q两个点之间的距离是4个单位长度？（4）P点出发时，在A、B之间有一个小球，以每秒10个单位的速度同时出发，在A、B之间来回滚动，直到P、Q相遇时，小球才停止运动。问：这个过程中，小球滚动的距离是多少个单位长度？【方法总结】①数轴上位置已经确定的点，叫做定点；位置不断变化的点，叫做动点。②数轴上两个动点重合，就好比马路上两辆车相遇，可以转化成相遇问题。③数轴上反方向运动的两个点，就好比马路上两辆车相对行驶，相遇之前距离越来越小，相遇之后距离越来越大。ABOPQb－aBAOa－b2（思考与讨论）由于数轴上的点，向右增大，向左减小。我们假设A点表示的数为a，B点表示的数为b，保持A、B两点静止不动。我们添上两个能动的点P和Q：P点从A出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动；与此同时，Q点从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左移动。设运动时间为t，那么t秒后，P点表示的数是___________，Q点表示的数是____________。由此可见，向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去速度乘时间向右运动的点，表示的数就可以这样算：起点加上速度乘时间。【例题2】甲车速度是60km/h，乙车速度是90km/h。某天上午，甲、乙两车在同一个地方，走同一条路去往300km外的省城，甲车先走了1小时，然后乙车才出发。（1）问：乙车能否在抵达省城之前，追上甲车？（2）问：乙车出发多少小时，甲、乙两车相距30km？（变式）如图，A、B两点分别对应数轴上ba,两数，O为原点，若OAOB2，且AB=24。有一点P从A点出发，以每秒6个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒2个单位的速度向右移动，假设运动时间为t。（1）___________,ba（2）t秒以后，P点表示的数是__________，Q点表示的数是___________（用含有t的代数式表示）（3）若P、Q之间相距10个单位长度，求t的值。【方法总结】①向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去经过的路程，向右运动的点，表示的数可以这样算：起点加上经过的路程。这里所说的路程，是指某一个动点的速度乘它的运动时间。②数轴上两个动点如果是同方向运动的，一定要比较它们的速度，然后再思考，有没有追上甚至超过的可能，如果有这样的可能，一定要把这种情况写在答题过程中。③同向运动的两个点如果能相遇，就好比追及问题里面，后面的快车追上了前面的慢车。追上所需的时间就用它们出发前的距离除以速度差，就能算出答案。三、中点公式在数轴上有一点A表示的数为a，有一点B表示的数为b，并且ba如果P是AB的中点，那么P点表示的数可以记作：)(21ba（下面我们就来研究这个公式是怎样得到的）因为abAB，P是AB中点，那么AP就是AB的一半，所以)(21abAPP点可以看成是从A点出发，向右移动了)(21ab得到的。所以P表示的数就可以写成：)(21aba，化简以后就是)(21baPABP3典型例题讲解【例题1】如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|+（3a+b）2＝0（1）a＝，b＝；（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．（题目来源：2018年无锡市惠山区初一期末）【小提示】做这类动点问题，先要标明每个点表示的数，然后弄清楚动点从哪里出发，朝什么方向，速度是多少，正确表示出动点的位置。（备用图）【例题2】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．（备用图）4【例题3】如图，已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t＞0），点M为AP的中点．（1）若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB＝2AM？（2）若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；②当PN＝2NB时，是否存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．【例题4】阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的妙点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的妙点，但点D是【B，A】的妙点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．（1）数所表示的点是【M，N】的妙点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点？图35【参考答案】1.【解答】解：（1）∵|a+2|+（3a+b）2＝0，∴a+2＝0，3a+b＝0，∴a＝﹣2，b＝6；（2）①∵若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动t秒后P点对应的数为﹣2+t，∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6，∴PO＝|﹣2+t|，PB＝|﹣2+t﹣6|＝|t﹣8|，当PO＝2PB时，有|﹣2+t|＝2|t﹣8|，解得t＝6或14（舍去）．答：点P的运动时间t为6；②当点P运动到线段OB上时，AP中点F表示的数是＝，OB的中点E表示的数是3，所以EF＝3﹣＝，则＝＝2．③相遇前PQ＝1，（1+2）t＝8﹣1，解得t＝；相遇后PQ＝1，t＝3或5；点Q返回到B，PQ＝1，t＝（8﹣1）÷1＝7．综上所述，当PQ＝1时，t的值是或3或5或7．故答案为：﹣2；6．2.【解答】解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，解得x＝．故相遇点M所对应的数是．（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．综上所述：t的值为2、6.5、11或17．【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．3.【解答】解：（1）∵M是线段AP的中点，∴AM＝AP＝t，PB＝AB﹣AP＝24﹣2t．∵PB＝2AM，∴24﹣2t＝2t，解得t＝6．（2）①点P在B点左侧．∵M是线段AP的中点，∴PM＝AP＝t，∵N是线段BP的中点，∴PN＝BP＝（24﹣2t）＝12﹣t．∴MN＝t+12﹣t＝12．②点P在B点或B点右侧．∵M是线段AP的中点，6∴PM＝AP＝t，∵N是线段BP的中点，∴PN＝BP＝（2t﹣24）＝t﹣12．∴MN＝t﹣（t﹣12）＝12．（3）①0＜t≤12由题意得：PM＝t，PN＝（24﹣2t），PM＝PN，t＝（24﹣2t），t＝．②12＜t≤48由题意得：PM＝t，PN＝（2t﹣24），PM＝2PN，t＝2×（2t﹣24），t＝．③t＞48由题意得：PM＝t，PN＝（2t﹣24），PN＝2PM，（2t﹣24）＝2t，t＝﹣24（不成立）．答：当t＝时，P是MN的中点；当t＝时，N是MP的中点．4.【解答】解：（1）设所求数为x，由题意得x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），解得x＝2；或x+2＝2（x﹣4），解得x＝10．故数2或10所表示的点是【M，N】的妙点；故答案为：2或10．（2）设点P表示的数为y，分四种情况：①P是【A，B】的妙点．由题意，得y﹣（﹣40）＝2（20﹣y），解得y＝0，20﹣0＝20；②P是【B，A】的妙点．由题意，得20﹣y＝2[y﹣（﹣40）]，解得y＝﹣20，20﹣（﹣20）＝40；③B是【A，P】的妙点．由题意，得20﹣（﹣40）＝2（20﹣y），解得y＝﹣10，20﹣（﹣10）＝30；④A为【B，P】的妙点，由题意得20﹣（﹣40）＝2[y﹣（﹣40）]y＝﹣10，20﹣（﹣10）＝30．综上可知，当P点运动20或40或30个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点．【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解妙点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．