第62课时 推理

推理与证明推理与证明无处不在)(1生活中的引例？时候，我们会想什么呢第五个都是红玻璃球的至第三个、第四个、第二个是红玻璃球，甚第一个球是红玻璃球，从一个袋子里摸出来的红玻璃球？是不是这个袋子里都是我们又会想什么呢？，出一个白玻璃球的时候但是，当我们有一次摸玻璃球？是不是这个袋子里都是我们又会想什么呢？出一个木球的时候，但是，当我们有一次摸球？是不是这个袋子里都是：人类的探索活动经常是提出猜想验证猜想再提出猜想再验证猜想:作两个在探索活动中，作的工通过推理得出结论.1证明对结论结论进行验证或.2推理一.推理。的思维过程，叫做题得出另一个新命题从一个或几个已知的命注意：推理包含两部分：前提推理所依据的命题，是什么它告诉我们已知的知识结论,根据前提推得的命题是什么它告诉我们推出的知识)(2数学中的引例前提)1(111102nnn时，当111112nnn时，当131122nnn时，当171132nnn时，当231142nnn时，当311152nnn时，当都是质数。31,23,17,13,11,11结论.11,2的值都是质数对所有的自然数nnn前提)2(于长、宽的平方和。矩形的对角线的平方等结论和。等于长、宽、高的平方长方体的对角线的平方前提)3(所有的金属都能导电，铜是金属。结论铜能导电。么特点？个例子中的推理各有什上述31问题归纳推理.1称为归纳推理。性的结论的推理，从个别事实推演出一般练习推理？结论正确吗？下列的推理是否为归纳)(5)(5)3(,5)2(,5)1(,5)0(.5)3)(2)(1()(3.1801801801802)1(Nnnfffffxxxxxf所以因为）（，所有三角形内角和为等边三角形内角和为，，等腰三角形内角和为）直角三角形内角和为（金属都导电。金导电，银导电，所有注意：:归纳推理的特点）特殊（1一般前提）(结论）(..,)2(不能作为数学证明工具真实性需证明或验证结论不可靠.,,)3(题帮助人们发现和提出问研究的起点可以作为进一步通过归纳法得到的猜想造性的推理，归纳推理是一种具有创归纳推理的步骤：实验、观察概括、推广猜测一般性结论容的范围）该结论超越了前提所包尚属未知,(1例的一个通项公式。，试归纳出数列的每一项均为正数，已知数列nnnnanaaaa),2,1(1,12211例2数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598668612812610多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式3例,3,2,1,0,,)1(,1341231121111dadaadadaadadaadaaaadan中的等差数列公差在首项：并从中归纳出一般结论观察下列等式，222247531,3531,231,11)2(4例，，，，，，，，，，成立？得结论是否你能得到什么结论？所观察下列等式517656517656416545416545315434315434214323214323422422,例5如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动1个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解:设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3123当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解:设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=3时,a3=7当n=4时,a4=15猜想an=2n-11236例.位数字的特点研究自然数的平方的末有所以类，这，，，，可分为所有自然数的末位数字,10921001234567890149656941的末位数n的末位数2n。都不是数字类自然数的平方的末位这从上表可以看出210,.2,,不可能是字自然数的平方的末位数可以断定据此2问题理？上述推理是不是归纳推了解归纳法纳法。不完全归纳法和完全归：备，可以把归纳法分为根据归纳的对象是否完不完全归纳法）（.1。物的一般性结论的推理从中概括出关于该类事察，别对象或个别子类的考通过对某类事物中的个纳法。归纳推理就是不完全归完全归纳法）（.2。物的一般性结论的推理从中概括出关于该类事的考察，一个对象或每一个子类通过对某类事物中的每..具可以作为严格的证明工是一种必然性的推理，完全归纳法是演绎推理3引例3问题想的思维过程吗？你能说出这些发明、猜,.1叶能割破行人的腿工匠鲁班发现带齿的草.发明了锯,.2在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们.发明了潜水艇；在一年中也有季节变更有大气层,)2(绕轴自转的行星；火星也是绕太阳运行、)1(:,.3类似的特征发现火星与地球有许多科学家对火星进行研究.,)3(等等生物的生存度适合地球上某些已知火星上大部分时间的温.可能有生命存在科学家猜想：火星上也类比推理.2义吗？你能说出类比推理的定问题4叫做类比推理。理也相似或相同，这种推推演出它们在其他方面相似或相同，对象之间在某些方面的两类根据两个)(简称类比法。类比推理的特点：（1）.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.（2）.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.（3）.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.类比推理的步骤：观察、比较联想、类比猜测新的结论7例想不等式的性质根据等式的性质类比猜cbcaba)1(猜想cbcababcacba)2(猜想bcacba22)3(baba猜想22baba8例质，并列出它们类似的性类比实数的加法和乘法圆的性质球的性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(非大圆)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2例9利用圆的性质类比得出球的性质圆的切线垂直与经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点球的切面垂直与经过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必过切点经过切点且垂直于切线的直线必过圆心经过切点且垂直于切面的直线必过球心例10类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:例11：(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位０１２３４５６７十进位０１２３４５６７例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（）十六进位８９ＡＢＣＤＥＦ十进位８９１０１１１２１３１４１５ＡＡ．６EＢ．７２Ｃ．５ＦＤ．０Ｂ年江苏）例题2008(12.011)(.01111,,,,,.),0();0,(),0,(),,0(yapxOFyapxcbOEFEABACCPBPpcbaAOppcCbBaAABCxoy方程：的请你完成直线的方程：直线；某位同学已正确求得交于点分别与边、为非零常数，设直线这里（异于端点）上一点为线段点分别为的顶点中，设三角形系如图，在平面直角坐标ABCEFPOxy注意：合情推理).1(叫做合情推理。程。推测某些结果的推理过以及个人经验和直觉等结果，的结论、实验和实践的根据已有的事实、正确是常用的合情推理。归纳推理和类比推理都)2(页阅读教材、、页练习第教材练习67.43266作业：11,105432178.1，，，，，页第教材合情推理例题.113tan42tan42tan35tan35tan13tan)3(15tan)15tan()15tan(100tan100tan5tan)2(110tan60tan60tan20tan20tan10tan)1(.1猜想得到一个结论为则你从这三个恒等式中式：观察下列几个三角恒等).(,),614121(31)51311(41),4121(21)311(31,2111121:.2*Nnn为个不等式由此猜测第观察下列不等式.,,,,.2,,,.3OMAOABCDOBCGMABCDGDAGABCGBCDABC则外接球的球心为四面体的三边中线的交点是若中都相等的四面体则有结论：“在六条棱推广到空间若把该结论”则外接圆的圆心是中点的是若中相等的已知结论“在三边长都.)(,,444342414039383736,27262524232221,1413121110,543:.4*222222222222222222222222个等式为由此得到第观察下列等式Nnn.23,,222),2()21(,1.5122111nnnnnnnnnnaSnaaaSnaaaa可求得项和公式的方法前列类比课本中推导等比数满足已知数列).(,1,.2,08)(4,0,0)(,,1)(22)()()(:.2,1,.62222121221212222121222121不必证明你能得到的结论为时个正实数满足若根据上述证明方法所以从而得所以恒有因为对一切实数构造函数证明那么满足若两个正实数请阅读下列材料：naaanaaaaxfxxaaxaxaxxfaaaaaa.,,,,.2,,,.7公比为数列为等比则数列项的积为前的公比为数列若各项均为正数的等比类似地公差为为等差数列则数列项和为前的公差为若等差数列nnnnnnnTTnqbdnSSnda如下一种解法：给出”的不等式解关于解集为的的不等式“已知关于对于问题,0,2,10:.822cbxaxxcbxaxx.1,20,1,20)()(,2,10:222的解集为的不等式即关于的解集为得的解集为由解cbxaxxcxbxacbxax.0111),1,21()31,1(0:解集为的的不等式则关于为的解集的不等式若关于参照上述解法cxbxaxkxxcxbxaxkx.,,,;,,.921也是等差数列数列时则当是等差数列若数列上述性质类比也是等比数列数列时则当数列是各项均为正数的等比若数列nnnnnnnnddcbaaaba.,,,.4,,,:.102体积恒为分的则这两个正方体重叠部某顶点在另一个的中心其中一个的的正方体有两个棱长均为类比到空间分的面积恒为则这两个正方形重叠部个的中心一其中一个的某顶点在另的正方形有两个边长都是同一个平面内如图的命题现有一个关于平面图形aaa.,4321,,),4,3,2,1(,.2)(,4321,,),4,3,2,1(.114321414321则若个面的距离记为到第点点是该三棱锥内的任意一记为个面的面积