2013届高考理科数学复习测试题3

智浪教育–普惠英才A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案D2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()．A．2k＋2B．2k＋3C．2k＋1D．(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．答案D3．对于不等式n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案D4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()．A．(k＋3)3B．(k＋2)3智浪教育–普惠英才C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案A5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()．A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋14＋k＋122[来源:学.科.网]D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．解析n＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2.答案1＋12＋13＜28．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．111121智浪教育–普惠英才133114641…解析所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.答案2n－2n三、解答题(共23分)9．(11分)试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明法一(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．法二(1)当n＝1时f(1)＝64命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得，f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，对于任意n∈N*，命题都成立．10．(12分)已知数列{an}中，a1＝a(a＞2)，对一切n∈N*，an＞0，an＋1＝a2n2an－1.求证：an＞2且an＋1＜an.证明法一∵an＋1＝a2n2an－1＞0，∴an＞1，∴an－2＝a2n－12an－1－1－2＝an－1－222an－1－1≥0，∴an≥2.若存在ak＝2，则ak－1＝2，[来源:学。科。网]由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，与a1＝a＞2矛盾，故an＞2.∵an＋1－an＝an2－an2an－1＜0，∴an＋1＜an.法二(用数学归纳法证明an＞2)①当n＝1时，a1＝a＞2，故命题an＞2成立；智浪教育–普惠英才②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak＞2，那么，ak＋1－2＝a2k2ak－1－2＝ak－222ak－1＞0.所以ak＋1＞2，即n＝k＋1时命题也成立．综上所述，命题an＞2对一切正整数成立．an＋1＜an的证明同上．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()．A．7B．8C．9D．10[来源:学科网]解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－12＝2－12n－1，代入验证可知n的最小值是8.答案B2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.12k＋2B．－12k＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3．在数列{an}中，a1＝13且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝15a1＝115；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，[来源:学科网ZXXK]即a3＝114(a1＋a2)＝135；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，智浪教育–普惠英才即a4＝127(a1＋a2＋a3)＝163.∴a1＝13＝11×3，a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝17×9，故猜想an＝12n－12n＋1.答案an＝12n－12n＋14．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴n－1n2＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案(5,7)三、解答题(共22分)5．(10分)(2010·全国)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－1an.(1)设c＝52，bn＝1an－2，求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．解(1)an＋1－2＝52－1an－2＝an－22an，1an＋1－2＝2anan－2＝4an－2＋2，即bn＋1＝4bn＋2.bn＋1＋23＝4bn＋23，又a1＝1，故b1＝1a1－2＝－1，所以bn＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，bn＋23＝－13×4n－1，bn＝－4n－13－23.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－1a1＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，ak＜ak＋1，智浪教育–普惠英才则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－1ak＋1＞c－1ak＝ak＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，an＜an＋1.当c＞2时，因为c＝an＋1＋1an＞an＋1an，所以a2n－can＋1＜0有解，所以c－c2－42＜an＜c＋c2－42，令α＝c＋c2－42，当2＜c≤103时，an＜α≤3.当c＞103时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝1anα(α－an)＜13(α－an)＜132(α－an－1)＜…13n(α－1)．当n＞log3α－1α－3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，与已知矛盾．因此c＞103不符合要求．所以c的取值范围是2，103.6．(12分)(2012·西安模拟)是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．解假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.解方程组ab＋c＝1，a4b＋c＝3，3a9b＋c＝19.解得a＝13，b＝2，c＝1.证明如下：[来源:Z_xx_k.Com]①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．智浪教育–普惠英才②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝13k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝13(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．即n＝k＋1时，等式成立．因此存在a＝13，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N*都成立