2005年上海高考数学（文）试题

2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数)1(log)(4xxf的反函数)(1xf=__________.2．方程0224xx的解是__________.3．若yx,满足条件xyyx23，则yxz43的最大值是__________.4．直角坐标平面xoy中，若定点)2,1(A与动点),(yxP满足4OAOP，则点P的轨迹方程是__________.5．函数xxxycossin2cos的最小正周期T=__________.6．若71cos，2,0，则3cos=__________.7．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是0,152，则椭圆的标准方程是__________.8．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）9．直线xy21关于直线1x对称的直线方程是__________.10．在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则AC=__________.11．函数2,0|,sin|2sin)(xxxxf的图象与直线ky有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________.12．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．若函数121)(xxf，则该函数在,上是（）A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值14．已知集合RxxxM,2|1||，ZxxxP,115|，则PM等于（）A．Zxxx,30|B．Zxxx,30|C．Zxxx,01|D．Zxxx,01|15．条件甲：“1a”是条件乙：“aa”的（）A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件16．用n个不同的实数naaa,,,21可得到!n个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n行的数阵.对第i行iniiaaa,,,21，记inniiiinaaaab)1(32321，!,,3,2,1ni.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621bbb，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021bbb等于（）A．－3600B．1800C．—1080D．—720[来源:Zxxk.Com]三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分12分）已知长方体1111DCBAABCD中，M、N分别是1BB和BC的中点，AB=4，AD=2，DB1与平面ABCD所成角的大小为60，求异面直线DB1与MN所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）123123123123123123[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]18．（本题满分12分）在复数范围内解方程iiizzz23)(||2（i为虚数单位）.[来源:学科网ZXXK][来源:学科网][来源:学科网]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.[来源:Zxxk.Com]已知函数bkxxf)(的图象与yx,轴分别相交于点A、B，jiAB22（ji,分别是与yx,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2xxxg.（1）求bk,的值；（2）当x满足)()(xgxf时，求函数)(1)(xfxg的最小值.[来源:学科网ZXXK]20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.[来源:Z#xx#k.Com]假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？[来源:学科网]21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知抛物线)0(22ppxy的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M作FAMN，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当)0,(mK是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.对定义域是fD、gD的函数)(xfy、)(xgy，规定：函数gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxfxh且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数32)(xxf，,1x2)(xxg，Rx写出函数)(xh的解析式；（2）求问题（1）中函数)(xh的最大值；（3）若)()(xfxg，其中是常数，且,0，请设计一个定义域为R的函数)(xfy，及一个的值，使得xxh2cos)(，并予以证明.数学（文）参考答案说明1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答中评分标准的精神进行评分.2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.一、（第1题至第12题）1．14x2．x=03．114．x+2y－4=05．π6．14117．1208022yx8．739．x+2y－2=010．311．31k12．3150a二、（第13题至16题）13.A14.B15.B16.C三、（第17题至第22题）17．[解]联结B1C，由M、N分别是BB1和BC的中点，得B1C//MN∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.联结BD，在Rt△ABD中，可得52BD，又BB1⊥平面ABCD.∠B1DB是B1D与平面ABCD的所成的角，∴∠B1DB=60°.在Rt△B1BD中，BB1=BDtan60°=152，[来源:学科网]又DC⊥平面BB1C1C，∴DC⊥B1C，在Rt△CB1C中，21tan21211BBBCDCCBDCCDB∴∠DB1C=,21arctan即异面直线B1D与MN所成角的大小为21arctan.18．解：原方程化简为iizzz1)(||2设),,(Ryxyixz代入上述方程得,121,122222xyxixiyx[来源:学#科#网]解得,2321yx∴原方程的解是.2321iz19．解：（1）由已知得},{),,0(),0,(bkbABbBkbA则[来源:Z&xx&k.Com]于是.21,22bkbkb（2）由,62),()(2xxxxgxf得即,42,0)4)(2(xxx得,521225)(1)(2xxxxxxfxg由于3)(1)(,02xfxgx则，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，∴)(1)(xfxg时的最小值是－3.20．解：（1）设中低价房面积形成数列na，由题意可知na是等差数列，其中a1=250，d=50，则,22525502)1(2502nnnnnSn令,4750225252nn即.10,,019092nnnn是正整数而∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知nnba85.0有250+(n－1)50400·(1.08)n－1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21．解：（1）抛物线.2,524,222pppxpxy于是的准线为∴抛物线方程为y2=4x.（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴,43,;34MNFAkFAMNk则FA的方程为y=34（x－1），MN的方程为.432xy解方程组).54,58(5458,432)1(34Nyxxyxy得（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为),(44mxmy即为,04)4(4mymx圆心M（0，2）到直线AK的距离2)4(16|82|mmd，令1,2md解得1m当时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当1m时，直线AK与圆M相交.22．解（1）)1,(2),1[)2)(32()(xxxxxxh（2）当.81)47(2672)2)(32()(,122xxxxxxhx时.81)(,47,1)(,1;81)(取得最大值是时当时当xhxxhxxh（3）[解法一]令,2,cossin)(xxxf则,sincos)2cos()2sin()()(xxxxxfxg于是.2cos)sin)(cossin(cos)()()(xxxxxxfxfxh[解法二]令,sin21)(xxf，则,sin21)sin(21)()(xxxfxg于是.2cossin21)sin21)(sin21()()()(2xxxxxfxfxh