2008年高中数学竞赛决赛试题及答案(广东省东莞市)

2008年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题表的相应位置．）1．若集合},,{cbaM中的元素是ABC的三边长，则ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．设k100cos，则80tan=（）A．kk21B．kk21C．kk21D．21kk3．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（）A．61B．31C．21D．14．若A、B两点分别在圆044840481662222yxyxyxyx和上运动，则||AB的最大值为（）A．13B．19C．32D．385．设21,xx是函数()2008xfx定义域内的两个变量，且21xx，若)(2121xxa，那么，下列不等式恒成立的是（）A．|)()(||)()(|21afxfxfafB．)()()(221afxfxfC．|)()(||)()(|21afxfxfafD．|)()(||)()(|21afxfxfaf6．已知函数*)(5ncos)(Nnnf，则)43()32()21()10()2008()2()1(fffffff（）A．1B．0C．-1D．4正视图左视图俯视图二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．右图的发生器对于任意函数xf，Dx可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据Dx0，则发生器结束工作；②若输入数据Dx0时，则发生器输出1x，其中01xfx，并将1x反馈回输入端.现定义12xxf,)50,0(D.若输入10x,那么,当发生器结束工作时,输出数据的总个数为．8．若点（1,1）到直线2sincosyx的距离为d，则d的最大值是．9.从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是_______．10．函数212yxx（1,nnx，其中n为正整数）的值域中共有2008个整数，则正整数n.11.把1，2，3，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和记为S.若S的最大值为M，最小值为N，则NM.12．设集合22xxxA，2xxB，其中符号x表示不大于x的最大整数，则BA.答题卡一、选择题题号123456答案二、填空题7．8．9．10．11．12．10xx否结束（第7题图）输出1x是)(01xfxDx0输入0x三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．（本小题满分12分）已知向量)tan1,tan1(xxAB，))4sin(),4(sin(xxAC．（1）求证：BAC为直角；（2）若]4,4[x，求ABC的边BC的长度的取值范围．14．（本小题满分12分）已知函数1)2()(2xaaxxf.若a为整数，且函数()fx在(2,1)内恰有一个零点，求a的值.15．（本小题满分12分）设A、B是函数xy2log图象上两点,其横坐标分别为a和4a,直线2:axl与函数xy2log的图象交于点C,与直线AB交于点D.(1)求点D的坐标；(2)当ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围.16．（本小题满分14分）如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面11DCB；（2）求证：平面11CCAA⊥平面11DCB；（3）如果1AB，一个动点从点F出发在正方体的表面上依次经过棱1BB、11CB、11DC、DD1、DA上的点，最终又回到点F，指出整个路线长度的最小值并说明理由.17．（本小题满分14分）已知以点)0,)(2,(tRtttC为圆心的圆与x轴交于AO、两点，与y轴交于O、B两点，其中O为坐标原点.（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线42xy与圆C交于点NM、，若||||ONOM，求圆C的方程.18．（本小题满分14分）对于函数()fx，若()fxx，则称x为()fx的“不动点”，若()ffxx，则称x为()fx的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即|Axfxx，|Bxffxx.（1）求证：AB；（2）若21,fxaxaRxR，且AB，求实数a的取值范围；（3）若()fx是R上的单调递增函数，0x是函数的稳定点，问0x是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.ABCDA1B1C1D1EF2008年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题DBACDC二、填空题7．58．229．1610．100311．150512．}3,1{三、解答题13．（1）证明：因为)4sin()tan1()4sin()tan1(xxxxACAB2cossincossin[(sincos)(sincos)]2coscosxxxxxxxxxx0，…………4分所以ACAB，即90BAC．…………5分所以ABC是直角三角形．…………6分（2）解：1)4(sin)4(sin||22xxAC，因为ABC是直角三角形，且ACAB，所以xACABBC2222tan23||||||…………9分又因为]4,4[x，1tan02x，所以5||3BC．所以，BC长度的取值范围是5,3．…………12分14．解：（1）0a时，令012)(xxf得21x，所以()fx在(2,1)内没有零点；2分（2）0a时，由2()(2)1,fxaxax044)2(22aaa恒成立，知1)2()(2xaaxxf必有两个零点．…5分若0)2(f，解得Za65；若0)1(f，解得Za23，所以0)1()2(ff．……7分又因为函数()fx在(2,1)内恰有一个零点，所以(2)(1)0ff即(65)(23)0aa．…………10分解得35,26a由,1aZa综上所述，所求整数a的值为1．…………12分15．解：（1）易知D为线段AB的中点,因)log,(2aaA，)log,4()4(2aaB，所以由中点公式得)log,2()4(2aaaD．…………2分（2）连接AB，AB与直线2:axl交于点D，D点的纵坐标为))4(log(log2122aayD．…………4分所以BCDACDABCSSS)22(||21CD||2CD))4(log(log21)2(log2222aaa=log2)4()2(2aaa…………8分由S△ABC=log2)4()2(2aaa1,得2220a，…………10分因此,实数a的取值范围是2220a.…………12分16．（1）证明:连结BD.在正方体1AC中，对角线11//BDBD.又E、F为棱AD、AB的中点，//EFBD.11//EFBD.…………2分又B1D1平面11CBD，EF平面11CBD，EF∥平面CB1D1.…………4分（2）证明:在正方体1AC中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，B1D1⊥平面CAA1C1.…………6分又B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…………8分（3）最小值为32.…………10分如图，将正方体六个面展开成平面图形，…………12分从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为32.…………14分17．解：（1）OC过原点圆，2224ttOC．设圆C的方程是22224)2()(tttytx令0x，得tyy4,021；令0y，得txx2,021.…………2分4|2||4|2121ttOBOASOAB，即：OAB的面积为定值.………4分（2）|,||||,|||CNCMONOMOC垂直平分线段MN.21,2ocMNkk，直线OC的方程是xy21.…………6分tt212，解得：22tt或.…………8分当2t时，圆心C的坐标为)1,2(，5OC，此时C到直线42xy的距离551d，圆C与直线42xy相交于两点．…………10分当2t时，圆心C的坐标为)1,2(，5OC，FF此时C到直线42xy的距离559d圆C与直线42xy不相交，2t不符合题意舍去．…………13分圆C的方程为5)1()2(22yx.…………14分18．解：（1）若A，则AB显然成立；若A，设tA，则,fttfftftt，tB，故AB.…………4分（2）2,1Aaxx有实根，14a.又AB，所以2211aaxx，即3422210axaxxa的左边有因式21axx，从而有222110axxaxaxa.…………6分AB，2210axaxa要么没有实根，要么实根是方程210axx的根.若2210axaxa没有实根，则34a；若2210axaxa有实根且实根是方程210axx的根，则由方程210axx，得22axaxa，代入2210axaxa，有210ax.由此解得12xa，再代入得111042aa，由此34a，故a的取值范围是13,44.…………10分（3）由题意：0x是函数的稳定点则00ffxx，设00fxx，fx是R上的单调增函数，则00ffxfx，所以00xfx，矛盾.若00xfx，fx是R上的单调增函数，则00fxffx，所以00fxx，矛盾，故00fxx，所以0x是函数的不动点.