2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案

2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（）A．2.3元B．2.6元C．3元D．3.5元2．设关于x的分式方程2222aaxx有无穷多个解，则a的值有（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个3．实数a、b、c满足0abc，且0abc，则111abc的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．正负不能确定4．若a，b，c分别是三角形三边长，且满足1111abcabc，则一定有（）A．a=b=cB．a=bC．a=c或b=cD．a2+b2=c25．已知如图，长方形ABCD，AB＝8，BC＝6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（）A．152B．7C．8D．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（）A．等于222B．等于222C．等于242D．大于1000二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x是实数，那么115xxx的最小值是_________．2．已知31a，则20122011201022aaa的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这个长方形的面积是_______．4．若△ABC的三条中线长为3、4、5，则S△ABC为____________．三、（本大题满分20分）设有m个正n边形，这m个正n边形的内角总和度数能够被8整除，求m+n的最小值．QPDCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子．五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD，BE＝BD，CE平行于BD，BE交CD于F，求证：DE＝DF．FEDCBA2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（）。（A）2.3元（B）2.6元（C）3元（D）3.5元答：书的质量701003100470（克），故邮资为：3.24.04.037.0（元），选A。2、设关于x的分式方程2222xaxa有无穷多个解，则a的值有（）．（A）0个（B）1个（C）2个（D）无穷多个答：因为分式方程有解，故aa22，解得2a，故a只有1个，所以选B。３、实数a、b、c，满足0cba，且0abc，则cba111的值（）。（A）是正数（B）是负数（C）是零（D）正负不能确定答：由0cba，0abc知，cba,,中，必有两负一正，不妨设0a，0b，0c，且||||ca，所以||1||1ca，故ca11，而01b，所以0111cba，选B。４、若cba,,分别是三角形三边长，且满足cbacba1111，则一定有（）．（A）cba（B）ba（C）ca或cb（D）222cba答：由分式化简可得0))()((cbcaba，故ca或cb，选C。５、已知如图，长方形ABCD，AB=8，BC=6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（）。（A）215（B）7（C）8（D）217答：显然AC与PQ相互垂直平分，于是POC相似ADC，则DCOCADPO，得415PO，故215PQ，选A。６、用三个2，能写出最大的数一定（）。（A）222（B）等于222（C）等于242（D）大于1000第5题PQOCDAB答：最大的数是1000222，选D。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、x是实数，那么|5||1||1|xxx的最小值是（）。答：当1x时，|5||1||1|xxx取最小值6.2、已知13a，则20102011201222aaa的值是。答：因为324)13(22a，故0222aa。故0)22(2222010201020112012aaaaaa。3、右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这个长方形的面积是143。答：如图设6个正方形的边长从小到大依次为：1、x、x、1x、2x、3x，则由长方形的上下两边相等有：)3()2()1(xxxxx，得4x。于是长方形的长和宽分别为：13)1(xxx、11)3(xx，于是长方形面积为14311*13。4、在ABC的三条中线长为3、4、5，则ABCS为。答：将GD延长一倍至D’，则四边形BDCD’是平行四边形，则CGD'的边长分别是ABC的三条中线长的32倍，故它是直角三角形，且面积为38；另一31，方面，CGD'的面积与BGC面积相等，而BGC的面积是ABC的故8ABCS。三、（本大题满分20分）设有m个正n边形，这m个正n边形的内角总和度数能够被8整除，求m+n的最小值。解：由题意，这m个正n边形的内角总和度数为mmnnm360180180)2(……………………5分因为m360能被8整除，故180mn能被8整除；而180能被4整除，不能被8整除，则必有mn能被2整除，故m、n中只至少有一偶数。………………10分又1m，3n，且均为整数。要使m+n最小，则取1m时，则4n；………………15分（第3题）第4题D'GFDEABC取2m时，则3n；故m+n的最小值为5.………………20分四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子。解1：因为有4种颜色的袜子，故5只袜子必有1双；……………………5分取出1双袜子，剩下3只，则再增加2只袜子，又可以配成1双；…………10分以此类推，配成袜子的双数（x）与所需袜子只数（y），就有如下关系：32xy………………15分于是要配成10双袜子，所需23只就够了。………………20分如果取出22只袜子，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。………………25分解2单色袜子最多剩下4只；……………………5分因此，24只袜子一定能够配成10双；…………10分当取出23只袜子时，一定能够配成9双，此时剩下5只袜子；………………15分5袜子中，可以配成1双，于是23只袜子，也可以配成10双；………………20分当取出22只袜子时，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。………………25分五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD，BE=BD，CE平行BD，BE交CD于F。求证：DE=DF。证明：作E关于BC的对称点E’，连接DE’、CE’、BE’。根据对称性质有：BDBEBE'；CECE'；且90'ECE。………5分故'DCE绕C点逆时针旋转90就得到BCE，…………10分所以BEDE'，则'DBE是正三角形，故60'DBE。于是15''DBCDBECBE………………15分又15'EBCCBE，故30DBE，所以75DEB；………………20分而7590FBCBFCDFE故DFEDEB所以DE=DF。………………25分第五题E'FEDABC