高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD是空间四边形，,,,EFGH分别是边,,,ABBCCDDA的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证明：在ABD中，∵,EH分别是,ABAD的中点∴1//,2EHBDEHBD同理，1//,2FGBDFGBD∴//,EHFGEHFG∴四边形EFGH是平行四边形。(2)90°30°考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）BCACCEABAEBE同理，ADBDDEABAEBE又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC考点：线面垂直，面面垂直的判定AHGFEDCBAEDBC3、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，求证：1//AC平面BDE。证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为1AA的中点，O为AC的中点∴EO为三角形1AAC的中位线∴1//EOAC又EO在平面BDE内，1AC在平面BDE外∴1//AC平面BDE。考点：线面平行的判定4、已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．证明：90ACB∵°BCAC又SA面ABCSABCBC面SACBCAD又,SCADSCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１)C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．证明：（1）连结11AC，设11111ACBDO，连结1AO∵1111ABCDABCD是正方体11AACC是平行四边形∴A1C1∥AC且11ACAC又1,OO分别是11,ACAC的中点，∴O1C1∥AO且11OCAO11AOCO是平行四边形111,COAOAO∥面11ABD，1CO面11ABD∴C1O∥面11ABD（2）1CC面1111ABCD11!CCBD又1111ACBD∵，1111BDACC面111ACBD即同理可证11ACAD，又1111DBADD1AC面11ABDA1ED1C1B1DCBASDCBAD1ODBAC1B1A1CNMPCBA考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定6、正方体''''ABCDABCD中，求证：（1）''ACBDDB平面；（2）''BDACB平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD中，,,ACBDEF分别为,ADBC的中点，且22EFAC，90BDC，求证：BD平面ACD证明：取CD的中点G，连结,EGFG，∵,EF分别为,ADBC的中点，∴EG12//AC12//FGBD，又,ACBD∴12FGAC，∴在EFG中，222212EGFGACEF∴EGFG，∴BDAC，又90BDC，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P是ABC所在平面外一点，,PAPBCB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上A1AB1BC1CD1DGEF的点，3ANNB（1）求证：MNAB；（2）当90APB，24ABBC时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结,MQNQ，∵M是PB的中点，∴//MQBC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，∵,PAPB∴PDAB，又3ANNB，∴BNND[来源:学§科§网]∴//QNPD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB（2）∵90APB，,PAPB∴122PDAB，∴1QN，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且112MQBC，∴2MN考点：三垂线定理10、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG∵1DGEB四边形1DGBE为平行四边形，1DE∥GB又1DE平面BDG，GB平面BDG1DE∥平面BDG1EFDEE，平面1DEF∥平面BDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.（1）求证：1//AC平面BDE；（2）求证：平面1AAC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是1AA、AC的中点，1AC∥EO又1AC平面BDE，EO平面BDE，1AC∥平面BDE（2）∵1AA平面ABCD，BD平面ABCD，1AABD又BDAC，1ACAAA，BD平面1AAC，BD平面BDE，平面BDE平面1AAC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点．（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE中，222ADAEDE，AEDE∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角在RtPAD，42PD，在RtDCE中，22DE在RtDEP中，2PDDE，030DPE考点：线面垂直的判定,构造直角三角形13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小．证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB又BGAD，AD∥BC，BGBCPBG为二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PGBG，045PBG考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图1,在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC∴DB⊥1AO．设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM．∵OM∩DB=O，∴1AO⊥平面MBD．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．∵ADBD，∴DFAB．又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴AH平面BCD．考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1DCAB证明：连结ACBDAC∵⊥∴AC为A1C在平面AC上的射影BDACACBCACBCD11111同理可证平面考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=22a，AO2=AC2－OC2=a2－21a2=21a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）