19全国高中数学联赛省级预赛模拟【试题及答案】

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=21[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=34πR3（R为球的半径）。一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为31。则集合M={(x,y)|x≤|y|},N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A．32B．31C．1D．612．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为3。则四面体ABCD的体积等于A．23B．31C．21D．333．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90B．100C．110D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4,f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8B．9C．10D．116．设0x1,a,b为正常数。则xbxa122的最小值是A．4abB．(a+b)2C．(a-b)2D．2(a2+b2)7．设a,b0，且a2008+b2008=a2006+b2006。则a2+b2的最大值是A．1B．2C．2006D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=51AB+52AC。则ΔABP的面积与ΔABC的面积之比等于A．51B．21C．52D．329．已知a,b,c,d是偶数，且0abcd,d-a=90,a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列。则a+b+c+d=A．384B．324C．284D．19410．将数列{3n-1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…。则第100组的第一个数是A．34950B．35000C．35010D．3505011．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线A1C、直线BD1的对称点分别为点P和Q。则P，Q两点间的距离是A．322B．233C．423D．32412．已知F1，F2分别为双曲线12222byax的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点。若||||122PFPF的值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是A．(1,+∞)B．(0,3]C．(1,3]D．(1,2]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知3sin)2sin(，且),(2,21Zknnk。则tan)tan(的值是_________.14.设正数数列{an}的前n项之和为b，数列{bn}的前n项之积为cn，且bn+cn=1.则数列na1中最接近2000的数是_________.15.不等式2281042222xxxx的解集为_________.16.已知常数a0，向量m=(0,a),n=(1,0)，经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直互与经过定点B(0,a)以n+2+λm为方向向量的直线相交于点P，其中，λ∈R。则点P的轨迹方程为_________.三、解答题（共74分）17.（12分）甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片；否则，乙赢得甲一张卡片，规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时，游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。18.（12分）设∠A，∠B，∠C是ΔABC的三个内角。若向量2cos,85,2cos),cos(1BAnBABAm，且m•n=89.(1)求证：tanA•tanB=91；(2)求222sincbaCab的最大值。19.（12分）如图2，ΔABC的内切圆⊙I分别切BC，CA于点D，E，直线BI交DE于点G。求证：AGBG.20．（12分）设f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，3]上，f(x)=-2(x-3)2+4。矩形ABCD的两个顶点A，B在x轴上，C，D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图象上。求矩形ABCI面积的最大值。21.（12分）如图3所示，已知椭圆长轴端点A，B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆中心，且|OD|=1，2DE+DF=0，4FDO。（1）求椭圆长轴长的取值范围；（2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程。22．（14分）已知数列{xn}中，x1=a,an+1=212nnxx.（1）设a=tanθ20，若543x，求θ的取值范围；（2）定义在（-1，1）内的函数f(x)，对任意x,y∈(-1,1)，有f(x)-f(y)=xyyxf1，若21)(af，试求数列{f(xn)}的通项公式。答案：第Ⅰ卷1．B．M∩NdxOy平面上的图形关于x轴对称，由此，M∩N的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以2即可。由题意知M∩N的图形在第一象限的面积为.6131212．C．过点D作DF//CB，过点A作AE//BC，联结CE，ED，AF，BF，将棱锥补成棱柱。故所求棱锥面积为2131CE•CDsin∠ECD•h=.213．C．符合要求的取球情况共有四种：红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白白黄，红白白黄黄。故不同的取法数为.110252312153312352513CCCCCCCCC4．A．左边=sinA•cosA+sinA•cosB+sinB•cosA+sinB•cosB=21(sin2A+sin2B)+sin(A+B)=sin(A+B)•cos(A-B)+sin(A+B),右边=2sin(A+B).所以，已知等式可变形为sin(A+B)[cos(A-B)-1]=0.又因为sin(A+B)0，所以cos(A-B)=1.故∠A=∠B。另一方面，∠A=∠B=300，∠C=1200也符合已知条件。所以，ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形。5．A．设g(x)的各项系数和为s，则f(g(1))=3s2-s+4=188.解得s=8或323s（舍去）。6．B．22222221)1(1abaxbxaxxxbxa•21bxx•.)(12baxx当baax时，取得最小值(a+b)2.7．B．因为a2008+b2008≥a2006b2+b2006a2,又(a2006+b2006)(a2+b2)=a2008+b2008+a2006b2+b2006a2≤2(a2008+b2008),且a2008+b2008=a2006+b2006,所以a2+b2≤2.8．C．如图4所示，延长AP到E，使得AP=51AE。联结BE，作ED//BA交AC延长线于点D。由ACABAP5251，得AC=CD。故四边形ABED是平行四边形。所以.51ABEABPSS又24121ABEDABEDABCABESSSS，则.52ABCABPSS9．D．设a,b,c,d分别为b-m,b,b+m,.)(2bmb又90)()(2mbbmb，则.)30(32mmb①因a,b,c,d为偶数，且0abcd，可知m为6的倍数，且m30.设m=6k，代入式①得).4,3,2,1(522kkkb代入检验知k=4,b=32.故m=24,b=32,a,b,c,d依次为8，32，56，98。所以a+b+c+d=194.10.A.前99项的个数和为1+2+…+99=4950。而第1组是30，第100组的第一个数应为34950。11．A．建立空间直角坐标系，有D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).设P(x,y,z)，AP的中点为.2,2,21zyxM由AP•A1C=0，MC//A1C，得.22121,01zyxzyx解得.34,32,31P同理，.32,34,31Q故.322||PQ12．C．根据双曲线的定义有|PF2|-|PF1|=2a,||)2|(|||||121122PFaPFPFPF|PF1|+4a+.84||4||2||412112aaPFaPFPFa当且仅当||4||121PFaPF，即|PF1|=2a时，上式等号成立。设点P(x,y)(-x≥a)，由双曲线第二定义得|PF1|=-ex-a≥c-a，即2a≥c-a.于是.3ace又e1，故1e≤3.第Ⅱ卷13．2．.213131sin)2sin(1sin)2sin(]sin)2[sin(21]sin)2[sin(21sin)cos(cos)sin(tan)tan(ba14。1980。依题意，有).2(1nccbnnn又bn+cn=1，则11nnnccc，即.1111nncc由c1=b1,c1+b1=1,可得c1=b1=.21故).1(1,1,11nnannbncnnn所以，数列na1中最接近2000的数是44×45=1980。15．{x|3-232x}.原不等式即为.2|3)5(3)1(|22xx令3=y2，不等式可化为.2|)5()1(|2222yxyx由双曲线的定义知，满足上述条件的点在双曲线(x-3)2-132y的两支之间的区域内。因此，原不等式与不等式组3,13)3(222yyx同解。所以，原不等式的解集为}.2323|{xx16．y2+a2=2a2x2，去掉点(0,-a).设点P(x,y)，则AP=(x,y+a),BP=(x,y-a).又n=(1,0),m=(0,a)，故m+λn=(λ,a),n+2λm=(1,2λa).由题设知向量AP与向量m+λn平行，有λ(y+a)=ax.又向量BP与向量n+2λm平行，有y-a=2λax.两方程联立消去参数λ，得点P(x,y)的轨迹方程是(y+a)(y-a)=2a2y2，即y2-a2=2a2x2，去掉点(0,-a).17.ξ的取值为5，7，9，则P(ξ=5)=16121512C,P(ξ=7)=,645212121244512CCP(ξ=9)=.6455645161118．（1）由m•n=89,得892cos)]cos(1[852BABA，即,892)cos(1)]cos(1[85BABA亦即4cos(A-B)=5cos(A+B).所以tanA•tanB=.91（2）因CCabCabcbaCabtan21cos2sinsin222，而.43tantan289)tan(tan89tantan1tantan)tan(BABABABABA所以tan(A+B)有最小值43。当且仅当tanA=tanB=31时，取得最小值。又tanC=-tan(A+B)，则tanC有最大值.43故222sincbaCab的最大值为.8319．如试题中图2所示，联结AI，DI，EI。则∠E