2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知点P(4，1)在函数f(x)＝loga(x－b)(b＞0)的图象上，则ab的最大值是．解：由题意知，loga(4－b)＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤(a＋b)24＝4，当a＝b＝2时，ab的最大值是4．2．函数f(x)＝3sin(2x－π4)在x＝43π24处的值是．解：2x－π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f(43π24)＝3sin4π3＝－32．3．若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，则实数a的值是．解：设函数f(x)＝|ax＋1|，则f(－2)＝f(1)＝3，故a＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆x2b2＋y2c2＝1有相同的离心率e，则e的值是．解：若c＞b，则c2a2＝c2－b2c2，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有c2a2＝b2－c2b2，解得e＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E－ABCD的体积为V1，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2，则V1V2的值是．ABCDE（第6题图）A1B1C1D1解：记四棱锥B1－ABCD的体积为V．如图，DE＝23DB1，从而V1＝23V．又V＝13V2，所以V1V2＝29．7．若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值是．解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元素之积的值为0．8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x1，x2，…，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，…，y7中有2个为a，其余为b．则7i=1xiyi的可能取值中最小的为．解：因为a·a＝b·b＝1，a·b＝0，所以7i=1xiyi的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为．解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋2014．由b＋e＋x＝x－2011，解得x＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥0，y≥0，x＋y＋[x]＋[y]≤19的点(x，y)形成的区域（其中[x]是不超过x的最大整数）．则区域D中整点的个数为．解：区域D中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图）122015（第9题图）ecdab122015x（第6题图）ABCDEOA1B1C1D1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{an}中，a2＝2，q是公比．记Sn为{an}的前n项和，Tn为数列{a2n}的前n项和．若S2n＝2Tn，求q的值．解：若q＝1，则an＝a2＝2，a2n＝4，则S2n＝4n，Tn＝4n，S2n≠2Tn．若q＝－1，则an＝2×(－1)n，a2n＝4，则S2n＝0，Tn＝4n，S2n≠2Tn．………………………………5分若q≠±1，则an＝2qn－2，a2n＝4q2n－4，从而S2n＝2q×(1－q2n)1－q，Tn＝4q2×(1－q2n)1－q2．………………………………15分由S2n＝2Tn，则4q(1＋q)＝1，q2＋q－4＝0，解得q＝－1±172．综上，q的值为－1＋172和－1－172．………………………………20分12．如图，△ABC中，AB＞AC，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝CE．∠BAC的外角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．求证：A、P、B、C四点共圆．证明：如图，连结PD，PE，PC．因为四边形APDE是圆内接四边形,所以∠PAD＝∠PED，∠PAF＝∠PDE．又因为AP是∠BAC的外角平分线，所以∠PAD＝∠PAF，从而∠PED＝∠PDE，故PD＝PE．………………………………10分又∠ADP＝∠AEP，所以∠BDP＝∠CEP．又因为BD＝CE，所以△BDP≌△CEP，从而∠PBD＝∠PCE，即∠PBA＝∠PCA，ABCDP(第12题图)EABCDP(第12题图)EF所以A、P、B、C四点共圆．………………………………10分13．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O2都与直线l：y＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程．解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l的角平分线上．若直线l的斜率k＝tanα，设t＝tanα2，则k＝2t1－t2．圆心O1，O2在直线y＝tx上，可设O1(m，mt)，O2(n，nt)．交点P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0．………………………………4分所以⊙O1：(x－m)2+(y－mt)2=(mt)2，⊙O1：(x－n)2+(y－nt)2=(nt)2，所以(2－m)2＋(2－mt)2＝(mt)2，(2－n)2＋(2－nt)2＝(nt)2，即m2－(4＋4t)m＋8＝0，n2－(4＋4t)n＋8＝0，………………8分所以m，n是方程X2－(4+4t)X＋8=0的两根，mn＝8．由半径的积(mt)(nt)＝2，得t2＝14，故t＝12．………………………………16分所以k＝2t1－t2＝11－14＝43，直线l：y＝43x．………………………………20分14．将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色．（1）当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．解：（1）设正十一边形的顶点A1，A2，A3，…，A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以Ai(i＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j≠i时，以Aj为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个．……………………5分当k＝2时，设其中Am，An染成红色，其余染成蓝色．以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个，以Am为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以Am，An为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)xOyO1l(第13题图)O2P×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个．…………………………10分（2）若11个顶点中k个染红色，其余11－k个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k(k－1)2条，两端点染蓝色的有(11－k)(10－k)2条，两端点染一红一蓝的有k(11－k)条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个，则按顶点颜色计算连线段，3x1＋x3＝3×k(k－1)2，①3x2＋x4＝3×(11－k)(10－k)2，②2x3＋2x4＝3×k(11－k)，③由①＋②得3(x1＋x2)＋x3＋x4＝32[k(k－1)＋(11－k)(10－k)]，用③代入得x1＋x2＝12[k(k－1)＋(11－k)(10－k)－k(11－k)]＝12(3k2－33k＋110)．当k＝5或6时，(x1＋x2)min＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k＝5或6．…………20分